 |
A P. 5673. feladat (2025. október) |
P. 5673. Egy jó hőszigetelt falú, vízszintes helyzetű, rögzített, henger alakú tartályban lévő levegőt súrlódásmentesen mozgó, szintén jó hőszigetelő anyagból készült, \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{kg}\) tömegű dugattyú oszt két részre (ábra). Kezdetben a dugattyú olyan helyzetben rögzített, hogy a bal oldali részben a levegő térfogata \(\displaystyle 3~\mathrm{dm}^3\), nyomása \(\displaystyle 100~\mathrm{kPa}\), a másik részben pedig \(\displaystyle 2~\mathrm{dm}^3\) és \(\displaystyle 200~\mathrm{kPa}\). Ekkor mindkét részben a levegő hőmérséklete \(\displaystyle 300~\mathrm{K}\).
A dugattyú rögzítését megszüntetjük.
a) A rögzítés megszüntetését követően a dugattyú mekkora maximális sebességre gyorsul fel?
b) Mekkora lesz a bal oldali légoszlop legmagasabb hőmérséklete?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. november 17-én LEJÁRT.
Megoldás. A rögzítés feloldásakor a dugattyú rezgőmozgásba kezd. A jobb oldali rész nagyobb, de csökkenő nyomása balra gyorsítja a dugattyút, amelynek a sebessége akkor maximális amikor a nyomás a két oldalon éppen egyenlő, hisz ettől kezdve a mozgást fékező baloldali nyomás a nagyobb. A balra történő mozgás lefékeződése után a dugattyú visszafelé indul, ideális esetben eléri a kiinduló helyzetet, és a mozgás periodikusan ismétlődik, melynek során a gázok adiabatikus állapotváltozáson mennek keresztül. (Az elkerülhetetlen veszteségek, pl. a gáz belső súrlódása miatt a rezgés amplitúdója folyamatosan csökken, de ezt most nem kell figyelembe vennünk.)
a) Jelöljük a folyamat során a bal oldali rész adatait 1-es, a jobb oldaliét 2-es indexszel, a kiinduló helyzetre pedig használjuk az ábrán szereplő jelöléseket (\(\displaystyle p_\mathrm{A}\), \(\displaystyle V_\mathrm{A}\), \(\displaystyle p_\mathrm{B}\), \(\displaystyle V_\mathrm{B}\)). Az adiabatikus folyamatok során
\(\displaystyle p_1V_1^\kappa=p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}^{\kappa}\qquad\textrm{és}\qquad p_2V_2^\kappa=p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}^{\kappa},\)
ahol \(\displaystyle \kappa=c_p/c_v\) a fajhőhányados, esetünkben \(\displaystyle \kappa=7/5\). A folyamat során a \(\displaystyle V_1+V_2\) összeg állandó, ezért használjuk a \(\displaystyle V_1=V_\mathrm{A}-\Delta V\) és \(\displaystyle V_2=V_\mathrm{B}+\Delta V\) helyettesítő kifejezéseket. Amikor \(\displaystyle p_1=p_2\), akkor
\(\displaystyle \frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}^{\kappa}}{\left(V_\mathrm{A}-\Delta V\right)^{\kappa}}=\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}^{\kappa}}{\left(V_\mathrm{B}+\Delta V\right)^{\kappa}},\)
amiből
\(\displaystyle \Delta V=\frac{\left(p_\mathrm{B}^{1/\kappa}- p_\mathrm{A}^{1/\kappa}\right)V_\mathrm{B}V_\mathrm{A}}{\left(V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}+V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}\right)}.\)
Ennek megfelelően
\(\displaystyle V_1=V_\mathrm{A}-\Delta V=V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}\frac{V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}+V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}}\)
és
\(\displaystyle V_2=V_\mathrm{B}+\Delta V=V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}\frac{V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}+V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}}.\)
Ezt visszahelyettesítve az első egyenleteink egyikébe
\(\displaystyle p_1=p_2=p=\frac{\left(V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}+V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}\right)^{\kappa}}{\left( V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}\right)^{\kappa}}\)
adódik. Adatainkkal
\(\displaystyle V_1=2{,}388\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3},\qquad V_2=2{,}612\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3},\)
és
\(\displaystyle p=137{,}6\,\mathrm{kPa}.\)
A folyamat ezen szakaszában az egyes oldalak által végzett (előjeles) munka
\(\displaystyle W_1=\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}-pV_1}{\kappa-1}\qquad\textrm{és}\qquad W_2=\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}-pV_2}{\kappa-1}.\)
A kettő összege adja a dugattyú kinetikus energiáját:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=W_1+W_2,\)
ahol \(\displaystyle m\) a dugattyú tömege és \(\displaystyle v\) a sebessége. Ezt átrendezve, és kihasználva, hogy a két térfogat összege mindig akkora, mint \(\displaystyle V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}\), a sebességre a
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\left(W_1+W_2\right)}{m}}=\sqrt{\frac{2\left((p_\mathrm{A}-p)V_\mathrm{A}+(p_\mathrm{B}-p)V_\mathrm{B}\right)}{m(\kappa-1)}}\)
kifejezést kapjuk, amiből a numerikus eredmény:
\(\displaystyle v=10{,}9\,\mathrm{m/s}.\)
b) A baloldali légoszlop hőmérséklete akkor a legnagyobb, amikor az a legjobban össze van nyomva. Ez az a szélső helyzet, amikor a dugattyú mozgása éppen irányt vált, azaz a sebessége nulla. Ilyenkor a két gázmennyiség által végzett teljes munka is zérus. Az erre az állapotra vonatkozó mennyiségeket vesszővel jelölve
\(\displaystyle W_1'+W_2'=\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}-p_1'V_1'}{\kappa-1}+\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}-p_2'V_2'}{\kappa-1}=0.\)
Továbbra is igaz, hogy
\(\displaystyle V_1'+V_2'=V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B},\)
de az adiabatikus állapotegyenleteknek most célszerűbb a
\(\displaystyle \frac{T_1'}{T}\left(\frac{V_1'}{V_\mathrm{A}}\right)^{\kappa-1}=1\qquad\textrm{és}\qquad\frac{T_2'}{T}\left(\frac{V_2'}{V_\mathrm{B}}\right)^{\kappa-1}=1\)
alakját használnunk. (Itt \(\displaystyle T\) a kezdeti közös hőmérséklet.) Az egyesített gáztörvény szerint
\(\displaystyle \frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}{T}=\frac{p_1'V_1'}{T_1'},\qquad\textrm{és}\qquad\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}{T}=\frac{p_2'V_2'}{T_2'}.\)
Ennek segítségével az ismeretlen \(\displaystyle p_1'\) és \(\displaystyle p_2'\) nyomást a \(\displaystyle T_1'\) és \(\displaystyle T_2'\) hőmérsékletre cserélhetjük, és az adiabatikus egyenleteket felhasználva a \(\displaystyle V_1'\) ill. \(\displaystyle V_2'\) változót is eltüntethetjük:
\(\displaystyle p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}\left(1-\frac{T_1'}{T}\right)+{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}\left(1-\frac{T_2'}{T}\right)=0,\)
\(\displaystyle V_\mathrm{A}\left(1-\left(\frac{T_1'}{T}\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)+V_\mathrm{B}\left(1-\left(\frac{T_2'}{T}\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)=0\)
E két egyenletből \(\displaystyle T_2'\) már kiküszöbölhető, és az így kapott
\(\displaystyle \frac{V_\mathrm{A}}{V_\mathrm{B}}\left(1-\left(\frac{T_1'}{T}\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)+\left(1-\left(\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}\left(1-\frac{T_1'}{T}\right)+1\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)=0\)
egyenlet numerikusan megoldható. Két megoldás adódik, az egyik nyilván a kiinduló helyzetet adja vissza (\(\displaystyle T_1'=T=300\,\mathrm{K}\)), a másik a keresett hőmérséklet:
\(\displaystyle T_1'=1{,}230\,T=369\,\mathrm{K}.\)
Megjegyzés. A nemlineáris egyenletek megoldásakor gyakran hasznos a következő algoritmus. Az egyenletet az
\(\displaystyle x=f(x)\)
alakra hozzuk (ez általában többféleképpen is lehetséges), majd az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)\)
szabály szerint egy sorozatot generálunk. Nem garantálható, de jó esetben (az \(\displaystyle f(x)\) függvény megfelelő tulajdonságai mellett) az \(\displaystyle x_1\) kezdőértékek egy tartományában a sorozat elemei egyre pontosabban megközelítenek egy (az \(\displaystyle x_1\) konkrét értékétől független) \(\displaystyle x=x_\infty\) értéket, ami az előállítás módja miatt nyilván megoldása a kiinduló egyenletünknek. Ennek az eljárásnak az az előnye, hogy akár egy zsebszámológéppel is könnyen végrehajtható. (A program nagyon hasonló a P. 5626. feladat numerikus megoldásakor használt, lapunk 2025. májusi számában bemutatotthoz.) Esetünkben a fenti egyenletekből az \(\displaystyle x=T_1'/T\) változóra a bemenő adatok behelyettesítése után egyik lehetőségként az
\(\displaystyle x=\frac{4}{3}\left(1{,}75-\left(2{,}5-1{,}5x^{-2{,}5}\right)^{-0{,}4}\right)\)
egyenlet írható fel. Ennek az egyenletnek a segítségével a fenti módon pl. az \(\displaystyle x_1=1{,}5\) vagy valamilyen hasonló nagyságrendű értékekkel generált sorozatok az \(\displaystyle x=1{,}2303458\) megoldást adják. Egy másik lehetőség, ha az egyenletünket az
\(\displaystyle x=\left(\frac{2}{3}\left(1-(1{,}75-0{,}75x)^{-2{,}5}\right)+1\right)^{-0{,}4}\)
alakra rendezzük. Az ezzel generált sorozatok egy jelentős halmaza az indítás értékétől függetlenül az \(\displaystyle x=1\) megoldáshoz vezet.
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bense Tamás, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vigh István Csaba. 4 pontot kapott: Ferencz Kevin, Halmosi Dávid, Hornyák Zalán Zétény, Kovács Tamás, Rajtik Sándor Barnabás, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2025. októberi fizika feladatai