 |
A P. 5676. feladat (2025. október) |
P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), az ellenállások \(\displaystyle R_1=50~\Omega\), illetve \(\displaystyle R_2=150~\Omega\) nagyságúak, a kondenzátor \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\) kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.
a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?
b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson?
A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. november 17-én LEJÁRT.
Megoldás. a) A kapcsoló zárt állása esetén az ellenállásokon az ellenállások arányában oszlik meg a feszültség, a kondenzátor feszültsége pedig a vele párhuzamosan kötött \(\displaystyle R_2\) ellenállás feszültségével lesz egyenlő. Így a kondenzátor feszültsége
\(\displaystyle U_\mathrm{C}=U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_0=15\,\mathrm{V},\)
a kondenzátor keresett töltése pedig:
\(\displaystyle Q=CU_\mathrm{C}=300\,\mu\mathrm{C}.\)
b) A kapcsoló kinyitása után egy tranziens folyamat kezdődik, majd a tranziens lezajlása után már nem fog sehol áram folyni az áramkörben. Ekkor a teljes telepfeszültség a kondenzátorra esik, azaz
\(\displaystyle U_\mathrm{C}'=U_0=20\,\mathrm{V},\)
és így a kondenzátor új töltése:
\(\displaystyle Q'=CU_\mathrm{C}'=400\,\mu\mathrm{C}.\)
A kondenzátor energiájának megváltozása:
\(\displaystyle \Delta E=E'-E=\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}'^2-\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}^2=1{,}75\,\mathrm{mJ}.\)
Eközben a telepen is áthalad \(\displaystyle \Delta Q=Q'-Q=100\,\mu\mathrm{C}\) töltés, így a telep munkavégzése:
\(\displaystyle W=\Delta QU_0=2\,\mathrm{mJ}.\)
Az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson felszabaduló Joule-hő a telep munkavégzésének és a kondenzátor energianövekményének a különbsége:
\(\displaystyle W_1=W-\Delta E=0{,}25\,\mathrm{mJ}.\)
Megjegyzés. A feladat megoldásához nem szükséges, de leírhatjuk a tranziens folyamatot is. A huroktörvény alapján:
\(\displaystyle U_0=R_1I(t)+U_\mathrm{C}(t),\)
ahol
\(\displaystyle I=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}.\)
Ezt behelyettesítve:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{R_1C}(U_\mathrm{C}(t)-U_0),\)
amely egy ugyanolyan differenciálegyenlet az \(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0\) mennyiségre, mint a jól ismert bomlási törvény. Ez alapján a megoldása:
\(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0=(U_\mathrm{C}(0)-U_0)\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},\)
ahol \(\displaystyle \tau=R_1C\) az időállandó. Az áram időfüggése ez alapján:
\(\displaystyle I(t)=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{U_0-U_\mathrm{C}(0)}{R_1}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},\)
a teljes felszabaduló Joule-hőt pedig ennek integrálásával kaphatjuk meg:
\(\displaystyle W_1=\int\limits_0^\infty R_1I(t)^2\,\mathrm{d}t=\frac{(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2}{R_1}\int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{2t}{\tau}}\,\mathrm{d}t=\frac{C}{2}(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2=0{,}25\,\mathrm{mJ},\)
az előző megoldással összhangban.
Statisztika:
38 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Békési Máté, Bús László Teodor, Erdélyi Dominik, Ferencz Kevin, Gyenes Károly, Kovács Tamás, Murányi Nimród Máté, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vértesi Janka, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért. 4 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Borsics Bendegúz, Csáki Anikó, Elekes Panni, Hornyák Zalán Zétény, Kirschner Bálint, Sipeki Andor, Sümeghi Nándor , Zólomy Csanád Zsolt. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2025. októberi fizika feladatai