 |
A P. 5677. feladat (2025. október) |
P. 5677. Egy \(\displaystyle 1{,}5~\mathrm{V}\)-os elem kivezetéseihez két darab \(\displaystyle 20~\mathrm{cm}\) hosszúságú, egyeres, \(\displaystyle 1~\mathrm{mm}\) sugarú, vörösréz vezetékkel hozzákapcsolunk egy \(\displaystyle 1~\mathrm{k}\Omega\)-os ellenállást. A vörösrézben atomonként egy darab vezetési elektron van.
a) Számoljuk ki a vezetékben a vezetési elektronok átlagos áramlási sebességét!
b) Mennyi idő alatt jutna el egy elektron ekkora sebességgel a teleptől az ellenállásig?
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. november 17-én LEJÁRT.
Megoldás. A 40 cm hosszú vörösréz vezeték ellenállása
\(\displaystyle R=\rho\frac{\ell}{A}=1{,}68\cdot 10^{-8}\,\Omega\mathrm{m}\cdot\frac{0{,}4\,\mathrm{m}}{\pi\cdot(0{,}001\,\mathrm{m})^2}\approx 2\,\mathrm{m}\Omega,\)
mely elhanyagolható az ellenállás \(\displaystyle 1\,\mathrm{k}\Omega\)-os értéke mellett. Így az áramkörben Ohm törvénye alapján
\(\displaystyle I=\frac{1{,}5\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{k}\Omega}=1{,}5\,\mathrm{mA}\)
áram folyik.
a) Ebben a modellben a vezetési elektronok egyenletes \(\displaystyle v\) áramlási sebességgel mozognak. A vezeték egy adott keresztmetszetén \(\displaystyle t\) idő alatt \(\displaystyle nAtv\) számú elektron halad át, ahol \(\displaystyle n\) az vezetési elektronok számsűrűsége (egységnyi térfogatban lévő elektronok száma). Így az áramsűrűség definíciója alapján:
\(\displaystyle I=\frac{enAtv}{t}\quad\rightarrow\quad v=\frac{I}{enA},\)
ahol \(\displaystyle e\) az elemi töltés értéke.
Következő lépésként számoljuk ki a vezetési elektronok számsűrűségét. Tekintsük a vörösréz egy \(\displaystyle V\) térfogatú részét, melynek tömege \(\displaystyle \varrho_m V\) (\(\displaystyle \varrho_m\) a réz sűrűsége). A réz moláris tömege alapján, ebben \(\displaystyle \rho_m V/M_\mathrm{Cu}\) anyagmennyiségű rézatom, és ugyanennyi vezetési elektron található. A vezetési elektronok darabszáma az Avogadro-állandó segítségével kapható meg: \(\displaystyle N_A\varrho_mV/M_\mathrm{Cu}\). Innen a vezetési elektronok számsűrűsége:
\(\displaystyle n=\frac{N_A\varrho_m}{M_\mathrm{Cu}}.\)
Az elektronok átlagos áramlási sebessége:
\(\displaystyle v=\frac{IM_\mathrm{Cu}}{F\varrho_mA}=\frac{1{,}5\,\mathrm{mA}\cdot 63{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}}{96500\,\mathrm{C/mol}\cdot 8960\,\mathrm{kg/m^3}\cdot\pi\cdot(0{,}001\,\mathrm{m})^2}=3{,}5\cdot10^{-8}\;\textrm{m/s}.\)
A megoldásban az elektrokémiából ismert Faraday-állandó \(\displaystyle F=e\cdot N_A\) értéke jelent meg.
b) Ekkora sebességgel az elektronok a \(\displaystyle 0{,}2\,\mathrm{m}\) hosszú utat a telep és az ellenállás között 66 nap alatt tennék meg.
Megjegyzés. Ebben a feladatban az elektronok mozgását egy klasszikus fizikai modellel, az ún. Drude-modellel írtuk le. Az elektronok kvantummechanikai tulajdonságait figyelembe vevő modellek árnyaltabb képet adnak a vezetési jelenségekről. Ezekben a modellekben a vezetési elektronoknak csak töredéke vesz részt a töltéstranszportban, viszont a sebességük jóval nagyobb, közelítőleg \(\displaystyle 10^6\,\mathrm{m/s}\) értékűek. A többi vezetési elektron nem okoz effektív áramsűrűséget, mert ugyanolyan mértékben mozognak a térrel megegyező, mint azzal ellentétes irányba. Természetesen az összes vezetési elektron sebességének az átlaga a modelltől függetlenül megegyezik a fent kapottal.
Statisztika:
A P. 5677. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. októberi fizika feladatai