Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


K. 594. A 2, 3, 5, 6, 7 számjegyek valamelyikét kétszer, a többit egyszer felhasználva 3 db kétjegyű prímszámot alkotunk. Mennyi ezek összege?

(6 pont)

megoldás


K. 595. A QUARTO egy táblás stratégiai játék (1991), két személy játssza. Blaise Müller svájci matematikus találta ki. A játékban szereplő 16 figura mindegyike különbözik valamiben a többitől. A figurák négy szempont alapján is két egyforma csoportra oszthatók:

– magas vagy alacsony;

– sötét vagy világos;

– kerek vagy szögletes;

– a teteje lyukas vagy sima.

Hányféleképpen választhatunk ki a készletből két olyan figurát, amelyek pontosan kettő vagy három tulajdonságban egyeznek meg?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 596. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) oldalain rendre vegyük fel a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontokat úgy, hogy az \(\displaystyle AP = AR\), \(\displaystyle BP = BQ\) és \(\displaystyle CQ = CR\) feltételek teljesüljenek. Egy adott \(\displaystyle ABC\) háromszög esetén hány ilyen \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) ponthármas létezhet?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 597. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) oldalfelező pontját az ábrán látható módon összekötöttük a négyzet csúcsaival. Határozzuk meg a \(\displaystyle BVDT\) négyszög és az \(\displaystyle ABCD\) négyzet területének arányát.

(6 pont)

megoldás


K. 598. A digitális órákon a számjegyek rövid pálcika-lámpákból állnak, ahogy az ábrán látható:

Az órák fogyasztását az határozza meg, hogy mennyi kis pálcika-lámpát kell ki-be kapcsolni, ahogy változik az idő. Például 3-ról 4-re váltásnál két pálcika-lámpát kell ki- és egyet bekapcsolni, ami három kapcsolást jelent. Egy teljes \(\displaystyle 0, 1, 2, \ldots, 9, 0\) ciklus alatt ez összesen harminc kapcsolás. Ha ugyanezeket a digitális jeleket más sorrendben használnánk a 0-tól 9-ig terjedő számok megjelenítésére, akkor kevesebb kapcsolás is elég lenne. Keressük meg a kapcsolások egy teljes ciklusra vonatkozó számának minimumát, és adjunk meg hozzá egy megfelelő számjegy-sorrendet.

Javasolta: Ruttkai Zsófia (Hollandia)

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


C. 1497. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$$\begin{align*} xy & =z,\\ xz & =y,\\ yz & =x. \end{align*}$$

(5 pont)

megoldás


C. 1498. Milyen hosszú lehet legfeljebb egy 2 méter magas ember árnyéka a Földön? A Földet tekintsük egy 6370 km sugarú gömbnek, melyre a fénysugarak a Napból párhuzamosan érkeznek.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1499. Határozzuk meg azt a legnagyobb pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, melyre az \(\displaystyle 1,2,\ldots,n\) számoknak van olyan sorrendje, amelyben az egymás mellé írt számok összeolvasásaként kapott egyetlen számra teljesül a következő: bármely két szomszédos \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) számjegyére az \(\displaystyle \overline{ab}\), \(\displaystyle \overline{ba}\) kétjegyű számok közül legalább az egyik prím.

(5 pont)

megoldás


C. 1500. Az \(\displaystyle AB\) szakaszon kijelöljük az \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) pontokat, majd megrajzoljuk a pozitív körüljárású \(\displaystyle AXPQ\), \(\displaystyle XBRS\), \(\displaystyle BYWV\) és \(\displaystyle YAUT\) négyzeteket, melyek középpontjait jelölje rendre \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KM\) és \(\displaystyle LN\) szakaszok merőlegesek egymásra és egyenlő hosszúak.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1501. Melyik az a leghosszabb számtani sorozat, amelynek tagjai 200-nál kisebb, különböző prímszámok?

(5 pont)


C. 1502. Hat-hat egyforma sugarú kört rajzoltunk két különböző módon egy-egy egységnégyzetbe az ábrán látható módon. Melyik elrendezésben nagyobb a körök sugara?

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

statisztika


C. 1503. Egy adott háromszögben az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalak hosszának négyzetei ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle b\) oldallal szemközti szög nagysága legfeljebb \(\displaystyle 60^{\circ}\) lehet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


B. 4974. Legalább hány számot kell kiválasztani az \(\displaystyle 1, 2,\ldots, 10\) számok közül, hogy biztosan legyen közöttük néhány szám, melyek összege osztható 11-gyel, bárhogyan is történik a számok kiválasztása?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás


B. 4975. Adott négy, páronként különböző egyenes: \(\displaystyle e\parallel f\) és \(\displaystyle g\parallel h\), valamint egy \(\displaystyle P\) pont. Szerkesszünk olyan \(\displaystyle P\)-re illeszkedő egyenest, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre olyan \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban metszi, amelyekre \(\displaystyle EF=GH\).

(3 pont)

megoldás


B. 4976. Legyen \(\displaystyle A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}\). Kezdő és Második felváltva választanak ki egy-egy, még nem választott számot az \(\displaystyle A\) halmaz elemei közül. Az a játékos nyer, akinek előbb lesz három olyan, általa választott száma, melyek összege 0. Van-e valamelyik játékosnak nyerő stratégiája?

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4977. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszög beírt körének érintési pontjai által meghatározott háromszög magasságpontja a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasságvonalára illeszkedik.

(Kvant)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4978. Legyen \(\displaystyle n\ge 3\) egész szám és \(\displaystyle \alpha\) tetszőleges valós szám. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos^2 \left(\alpha+\frac{2k\pi}{n}\right) = \frac n2. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4979. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) rendre az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldalnak belső pontja. A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle F\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle BC^2=BD\cdot BA+CE\cdot CA\), akkor \(\displaystyle ADFE\) húrnégyszög.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás


B. 4980. Legyen \(\displaystyle n>3\) pozitív egész, \(\displaystyle a_1, a_2, \ldots, a_n\) pedig pozitív valós számok. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle 1 < \frac{a_1}{a_n+a_1+a_2} + \frac{a_2}{a_1+a_2+a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_{n-1}+a_n+a_1} < \left[ \frac{n}{2} \right] \)

és az egyenlőtlenség bal oldala nem cserélhető nagyobb, a jobb oldala pedig kisebb számra (ahol \(\displaystyle [x]\) az \(\displaystyle x\) szám egész részét jelenti).

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4981. Egy egységkocka \(\displaystyle xy\) síkra vonatkozó merőleges vetületének területe \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle z\) tengelyre vonatkozó merőleges vetületének hossza pedig \(\displaystyle a\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle A = a\).

Javasolta: Erben Péter (Budapest)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


A. 731. Adott az \(\displaystyle n\) csúcsú \(\displaystyle G\) fagráf, a csúcsainak halmaza \(\displaystyle V\), és adott a síkon egy \(\displaystyle n\)-elemű \(\displaystyle P\) ponthalmaz, melynek elemei között nincs három egy egyenesen. Igaz-e a \(\displaystyle G\) gráf és a \(\displaystyle P\) halmaz tetszőleges kiválasztása esetén, hogy \(\displaystyle G\) belerajzolható a \(\displaystyle P\) halmazba, vagyis létezik olyan \(\displaystyle f\colon V\to P\) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, hogy ha \(\displaystyle G\) minden \(\displaystyle (x,y)\) éléhez megrajzoljuk az \(\displaystyle \big[f(x),f(y)\big]\) szakaszt, akkor semelyik két ilyen szakasz nem metszi egymást?

Javasolta: Váli Benedek (Szeged)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 732. Van-e olyan \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots\) végtelen valós számsorozat, amely korlátos, nem periodikus, és teljesíti az \(\displaystyle a_{n+1}=a_{n-1}a_n+1\) rekurziót?

(7 pont)

statisztika


A. 733. Az \(\displaystyle \Omega\) kör belsejében fekszik az \(\displaystyle \omega\) kör. Az \(\displaystyle \Omega\) körön mozog az \(\displaystyle X\) pont. Az \(\displaystyle X\)-ből \(\displaystyle \omega\)-hoz húzott érintők az \(\displaystyle \Omega\) kört másodszor az \(\displaystyle A\ne X\) és \(\displaystyle B\ne X\) pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AB\) egyenesek vagy egy rögzített kör érintői, vagy pedig egy ponton mennek át.

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)