Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


K. 599. Helyezzük el a kis körökbe az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 számokat úgy, hogy bármelyik négy, egy egyenesen fekvő körben lévő számok összege ugyanannyi legyen, sőt a csillag csúcsaiba írt számok összege is ezt a számot adja. Néhány számot előre beírtunk a körökbe. Adjuk meg az összes lehetséges kitöltést.

(6 pont)

megoldás


K. 600. Egy háromjegyű szám valamelyik számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk, ennek a számnak valamelyik számjegyét elhagyva pedig egy egyjegyű számot. Melyik lehet ez a háromjegyű szám, ha a háromjegyű, a kétjegyű és az egyjegyű számok összege 1001?

(6 pont)

megoldás


K. 601. Egy hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszögbe olyan 4 cm oldalhosszúságú \(\displaystyle PQRS\) négyzetet lehet írni, melynek \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) csúcsa az \(\displaystyle AB\) oldalon, \(\displaystyle R\) csúcsa a \(\displaystyle BC\) oldalon, \(\displaystyle S\) csúcsa pedig az \(\displaystyle AC\) oldalon van. Mekkora a háromszög területe, ha az \(\displaystyle AB\) oldal hossza 8 cm?

(6 pont)

megoldás


K. 602. András és Pali játszanak. A nyertes mindig \(\displaystyle x\), a vesztes mindig \(\displaystyle y\) pontot kap (\(\displaystyle x>y\) egész számok), döntetlen nincs. Néhány kör után Andrásnak 30, Palinak 25 pontja van, mert Pali csak kétszer nyert. Mennyit kap a nyertes?

(6 pont)

megoldás


K. 603. Gondoltam egy kétjegyű számra. A számjegyeinek összegét jelölje \(\displaystyle S\), szorzatát pedig \(\displaystyle P\). Milyen számra gondolhattam, ha \(\displaystyle P+S\) megegyezik ezzel a számmal?

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


C. 1504. Egy \(\displaystyle 3\times3\)-as táblázat celláit kitöltjük az ábra szerint. Egy lépésben megcserélhetünk egymás között \(\displaystyle n\) darab olyan számot, melyek legnagyobb közös osztója \(\displaystyle n\), úgy, hogy egyikük sem marad a helyén. Elérhető-e ilyen lépésekkel, hogy az eredeti táblázathoz képest az egyik, illetve a másik átlóra való tükrözés szerinti elrendezésbe kerüljenek a számok?

1 3 4
6 8 9
10 12 20

(5 pont)

megoldás


C. 1505. Mekkora hányadát fedik le a játéktér területének egy sakktáblán a sötét mezők körülírt körei?

(5 pont)

megoldás


C. 1506. Oldjuk meg a \(\displaystyle p^q+1=q^p\) egyenletet, ahol \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) pozitív prímszámokat jelöl.

(5 pont)

megoldás


C. 1507. Egy tompaszögű, egyenlő szárú háromszög szárainak felezőmerőlegesei az alapot három egyenlő részre osztják. Mekkorák a háromszög szögei?

(5 pont)

megoldás


C. 1508. Határozzuk meg \(\displaystyle xy\) értékét, ha \(\displaystyle x+y=1\) és \(\displaystyle x^3+y^3=\frac12\).

(5 pont)

megoldás


C. 1509. Filteres teát forgalmazó cég a dobozok 10%-ában egy-egy ajándékutalványt rejtett el. Mekkora annak a valószínűsége, hogy 10 doboz vásárlása esetén 1-nél több utalványra teszünk szert?

(5 pont)

megoldás


C. 1510. Egy egyenes csonkakúp alapkörének \(\displaystyle 8\) cm, fedőkörének \(\displaystyle 5\) cm a sugara. Alkotójának hossza \(\displaystyle 12\) cm. Ha a csonkakúpot elfektetve gurítjuk, palástjának pontjai egy körgyűrűt fednek be. Határozzuk meg a körgyűrű külső és belső körének sugarát, valamint azt, hogy hányszor fordul körbe a csonkakúp, mire visszaér a kiinduló helyzetbe.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


B. 4982. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex deltoid \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlói az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást úgy, hogy \(\displaystyle AE<CE\). Az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle CDE\) körök második, \(\displaystyle E\)-től különböző metszéspontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle EMF\sphericalangle=90^\circ\).

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4983. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle x^2+2x-3-\sqrt{\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x-3}}=\frac{2}{x^2-2x-3}. \)

Javasolta: Laczkó László és Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás


B. 4984. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle x\) számhoz található olyan pozitív egész \(\displaystyle y\), amelyre \(\displaystyle x^3+y^3+1\) osztható az \(\displaystyle x+y+1\) számmal. Van-e olyan pozitív egész \(\displaystyle x\), amelyhez végtelen sok ilyen tulajdonságú \(\displaystyle y\) létezik?

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(4 pont)

megoldás


B. 4985. Adott négy egyenes úgy, hogy közülük bármelyik három meghatároz egy háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy ennek a négy háromszögnek a magasságpontja egy egyenesre illeszkedik.

(5 pont)

megoldás


B. 4986. Jelölje KP azt a 64 térbeli pontot, amelyeknek mindhárom koordinátája 1, 2, 3 vagy 4. Kata és Péter térbeli amőbát játszanak a KP pontjain. Kata kezdi a játékot, kiválaszt egy tetszés szerinti pontot KP-ből, és azt kékre színezi. A második lépésben Péter választ egy, az előzőtől különböző pontot, és azt pirosra színezi. Ezután felváltva színeznek kékre, illetve pirosra egy korábban még színezetlen KP-beli pontot. Az győz, aki először színez a saját színére négy, egy egyenesre illeszkedő pontot. Mutassuk meg, hogy Katának mindegy, hogy az első lépésben az \(\displaystyle (1,1,2)\) vagy a \(\displaystyle (2,2,1)\) pontot színezi kékre.

Javasolta: Benkő Dávid (South Alabama)

(5 pont)

megoldás


B. 4987. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű, nem egyenlő szárú háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle O\), magasságpontja pedig \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle A\) csúcsból induló magasság talppontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle F\) pontból kiinduló és az \(\displaystyle M\) ponton átmenő félegyenes az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét a \(\displaystyle G\)-ben metszi.

\(\displaystyle a)\) Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle D\), és \(\displaystyle G\) pontok egy körön vannak.

\(\displaystyle b)\) Jelöljük a fenti kör középpontját \(\displaystyle K\)-val, a \(\displaystyle CM\) szakasz felezőpontját \(\displaystyle E\)-vel. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle EK=OK\).

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás


B. 4988. Egy \(\displaystyle (m+2)\times(n+2)\)-es táblázatnak levágjuk a négy darab \(\displaystyle 1\times1\) méretű ,,sarkát''. Az így kapott csonka táblázat első és utolsó sorának, illetve első és utolsó oszlopának minden mezőjére egy-egy (tetszőleges) valós számot írunk.

Igazoljuk, hogy a táblázat maradék \(\displaystyle m\times n\)-es ,,belseje'' egyértelműen kitölthető valós számokkal úgy, hogy minden ide eső szám megegyezzen a négy szomszédjának átlagával.

(Iráni feladat)

(6 pont)

megoldás


B. 4989. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Jelölje a háromszög súlypontját \(\displaystyle S\). Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle AFS\), \(\displaystyle BDS\) és \(\displaystyle CES\) háromszögek kerülete egyenlő. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos.

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


A. 734. Tetszőleges, \(\displaystyle 3\)-mal nem osztható pozitív egész \(\displaystyle m\)-re tekintsük az \(\displaystyle \{1,2,\ldots,m-1\}\) halmazon az \(\displaystyle x\mapsto 3x\pmod{m}\) permutációt. Ez a permutáció néhány diszjunkt ciklusra bomlik; például \(\displaystyle m=10\) esetén a ciklusok \(\displaystyle (1\mapsto3\mapsto9 \mapsto 7\mapsto1)\), \(\displaystyle (2\mapsto6\mapsto8\mapsto4\mapsto2)\) és \(\displaystyle (5\mapsto5)\). Milyen \(\displaystyle m\) számok esetén lesz a ciklusok száma páratlan?

(7 pont)

megoldás


A. 735. Tetszőleges \(\displaystyle f\colon [0,1]\to[0,1]\) függvényre jelölje \(\displaystyle P_n(f)\) az

\(\displaystyle \underbrace{f\big(\ldots f}_n(x)\ldots\big) \)

függvény fixpontjainak számát, vagyis az olyan \(\displaystyle x\in[0,1]\) pontok számát, amelyekre \(\displaystyle \underbrace{f\big(\ldots f}_{n}(x)\ldots\big)=x\). Mutassunk példát olyan szakaszonként lineáris, folytonos, szürjektív \(\displaystyle f\colon [0,1] \to[0,1]\) függvényre, amelyre alkalmas \(\displaystyle 2<A<3\) számmal a \(\displaystyle \frac{P_n(f)}{A^n}\) sorozat konvergál.

A 2018. évi Schweitzer Miklós emlékverseny 8. feladata nyomán

(7 pont)

statisztika


A. 736. Legyen \(\displaystyle P\) egy pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjában. Jelölje az \(\displaystyle A,B,C\) pontok \(\displaystyle P\)-re vonatkozó tükörképét rendre \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\). Legyen \(\displaystyle A''\), \(\displaystyle B''\) és \(\displaystyle C''\) rendre az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) tükörképe a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), illetve \(\displaystyle AB\) egyenesre. Legyen az \(\displaystyle A''B''\) és az \(\displaystyle AC\) egyenes metszéspontja \(\displaystyle A_b\), és legyen az \(\displaystyle A''C''\) és az \(\displaystyle AB\) egyenes metszéspontja \(\displaystyle A_c\). Jelölje \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle A_b\), \(\displaystyle A_c\) pontokon átmenő kört. Az \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) köröket hasonlóan definiáljuk. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \omega_A\), \(\displaystyle \omega_B\), és \(\displaystyle \omega_C\) koaxiálisak, vagyis közös hatványvonaluk van.

Javasolta: Navneel Singhal, Delhi és K. V. Sudharshan, Csennai, India

(7 pont)

megoldás


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)