Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


C. 1714. Egy táblára felírtuk 1-től 22-ig az egész számokat. Ezután egy lépésben kiválasztunk két számot, letöröljük őket és helyettük felírjuk a különbségük abszolútértékét. Bizonyítsuk be, hogy a táblára utoljára felírt szám páratlan.

(német feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1715. A \(\displaystyle k\) kör belsejébe rajzoltunk egy 8 cm sugarú \(\displaystyle k_1\) kört. Mindkét kört metszi az ábrán látható módon egy 15 cm sugarú \(\displaystyle k_2\) kör. Mekkora \(\displaystyle k\) sugara, ha a \(\displaystyle k\) belsejében, de \(\displaystyle k_1\)-en kívül levő satírozott síkidom területe megegyezik a \(\displaystyle k_2\) belsejében levő satírozott síkidomok területének összegével?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1716. Faktoriális számrendszerben a helyiértékek nem egy egész szám, az alapszám hatványai, hanem az \(\displaystyle n\)-edik helyiérték az \(\displaystyle n\) szám faktoriálisa. Tehát az első helyiértéken lévő számjegyet 1-gyel, a második helyiértéken álló számot 2-vel, a harmadik helyiértéken álló számot 6-tal kell szorozni, és így tovább. Ennek megfelelően pl. a \(\displaystyle 3310_!\) faktoriális számrendszerbeli szám értéke tízes számrendszerben \(\displaystyle 3\cdot4! +3\cdot3!+ 1\cdot2!=92\). (Amennyiben a szám faktoriális alakjában egy helyiértéken többjegyű szám áll, akkor azt zárójelbe tesszük.) (Igazolható, hogy a felírás egyértelmű, tehát minden pozitív egésznek egy alakja van faktoriális számrendszerben. Lásd az I. 553. januári informatika feladatot.) Megfigyeltük, hogy \(\displaystyle 111_!\) harmada \(\displaystyle 11_!\), az \(\displaystyle 111\;111_!\) harmadrésze \(\displaystyle 22\;011_!\) és \(\displaystyle 111\;111\;111_!\) harmada pedig \(\displaystyle 33\;022\;011_!\). Adjuk meg a \(\displaystyle 3n\) darab 1-esből álló, faktoriális számrendszerben megadott szám harmadát faktoriális számrendszerben.

Lénárt István (Budapest) ötletéből

(5 pont)

megoldás


C. 1717. Legyen a \(\displaystyle 15x^2-21x+7=0\) egyenlet két valós gyöke \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\). Adjuk meg az

\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \)

kifejezés pontos értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1718. Egy síkon elhelyeztünk 8 darab egységnyi élű kockát, majd ezekre még 5 darab egységkockát tettünk az ábra szerint.

Határozzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1719. Tekintsük az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög azon \(\displaystyle P\) belső pontjait, amelyekből az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle 135^{\circ}\)-os szögben látszik. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle PA\), \(\displaystyle PB\), \(\displaystyle PC\) szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög, és a \(\displaystyle P\) pont bármely, a feltételnek megfelelő elhelyezkedése esetén ennek a háromszögnek az egyik szöge mindig ugyanakkora.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1720. Adott egy \(\displaystyle 10\) elemű halmaz, amelynek elemei legfeljebb kétjegyű, pozitív egész számok. Igaz-e, hogy ennek a halmaznak mindig van két olyan diszjunkt részhalmaza, amelyekben az elemek összege egyenlő?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


B. 5238. Oldjuk meg a következő egyenletet a pozitív egész számok körében:

\(\displaystyle (k+n)!=k^3+n^3+(k+n)(3kn-1). \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5239. Egy háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Mutassuk meg, hogy a beírt kör középpontja harmadolja a \(\displaystyle b\) oldalhoz tartozó szögfelezőt.

(3 pont)

megoldás


B. 5240. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egész számnak van olyan többszöröse, amelyben a számjegyek összege \(\displaystyle n\).

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5241. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle > 90^\circ\), a körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\). A körülírt körhöz \(\displaystyle C\)-ben húzott érintő az \(\displaystyle AB\) egyenest a \(\displaystyle P\) pontban, a \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle BC\)-re állított merőleges pedig az \(\displaystyle OC\) egyenest \(\displaystyle Q\)-ban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle AB\) merőleges \(\displaystyle AQ\)-ra.

Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5242. Legyenek \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) tetszőleges pozitív egész számok. Tekintsük azon \(\displaystyle (x;y)\) rácspontokat a derékszögű koordinátarendszerben, amelyekre \(\displaystyle 1\le x\le m\) és \(\displaystyle 1\le y\le n\) teljesül. Legfeljebb hányat választhatunk ki ezen \(\displaystyle mn\) darab rácspont közül úgy, hogy semelyik négy kiválasztott pont se alkosson nem elfajuló paralelogrammát?

Javasolta: Füredi Erik (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5243. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle CAB\sphericalangle=48^{\circ}\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=54^{\circ}\). A háromszög egy belső \(\displaystyle D\) pontjára teljesül, hogy \(\displaystyle CDB\sphericalangle=132^{\circ}\) és \(\displaystyle BCD\sphericalangle=30^{\circ}\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle ACDB\) töröttvonalat alkotó szakaszokból nem szerkeszthető háromszög.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5244. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle n > 4\) egész számokat, melyekre minden \(\displaystyle n\)-nél kisebb \(\displaystyle k\) összetett számra \(\displaystyle (k,n) > 1\).

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5245. \(\displaystyle a)\) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok, páronként nem hasonló háromszög létezik, melynek mindhárom oldala egész szám, és az egyik szöge 3-szor akkora, mint egy másik.

\(\displaystyle b)\) A fenti tulajdonságú háromszögek között van-e olyan, amelynek mindhárom oldala legfeljebb 10?

Hujter Mihály (Budapest) ötlete alapján

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


A. 824. Pozitív számok egy végtelen \(\displaystyle H\) halmazát töménynek nevezzük, ha minden \(\displaystyle \big[1/(n+1), 1/n\big]\) alakú intervallumban (ahol \(\displaystyle n\) tetszőleges pozitív egész szám) van egy olyan szám, amely előáll két \(\displaystyle H\)-beli elem különbségeként. Létezik-e olyan tömény halmaz, amelyben a számok összege véges?

Javasolta: Szűcs Gábor (Szikszó)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 825. Keressük meg az összes \(\displaystyle f\colon \mathbb{Z}^+\to \mathbb{R}^+\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészekre \(\displaystyle f(nk^2)=f(n)f^2(k)\), továbbá \(\displaystyle \frac{f(n+1)}{f(n)}\) tart \(\displaystyle 1\)-hez.

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 826. Az antilop egy sakkbábu, amely a huszárhoz hasonlóan lép: az \(\displaystyle (x_1; y_1)\) mezőről pontosan akkor érhető el az \(\displaystyle (x_2; y_2)\) mező antilopugrással, ha

\(\displaystyle \big\{|x_1-x_2|, |y_1-y_2|\big\} = \{3, 4\}. \)

Egy \(\displaystyle 10^6 \times 10^6\) méretű táblázat mezőit kitöltjük az egész számokkal \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 10^{12}\)-ig. Legyen \(\displaystyle D\) azon számok halmaza, amelyek \(\displaystyle |a-b|\) alakban írhatóak, ahol az \(\displaystyle a\)-hoz tartozó mezőről elérhető a \(\displaystyle b\)-hez tartozó mező antilopugrással. Hányféle módon lehet elrendezni a számokat úgy, hogy \(\displaystyle D\) pontosan négy elemből álljon?

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)