Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


K. 734. Sanyi és barátai a focimeccsen az egyik héten 6 zacskó szotyit és 4 zacskó tökmagot vettek, ezért összesen 1900 Ft-ot fizettek. A következő héten 4 zacskó szotyit és 2 zacskó tökmagot vettek, és összesen 1100 Ft-ot fizettek. Egy zacskó szotyi és egy zacskó tökmag ára mindeközben nem változott. Hány forintba került egy zacskó szotyi, illetve egy zacskó tökmag?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 735. A logikai készletet Dienes Zoltán fejlesztette ki. Peti kiveszi a készletből a piros és a zöld köröket és négyzeteket, összesen 16 darab síkidomot. Ezen alakzatok mindegyike különbözik valamiben a többitől. Az alakzatok négy szempont alapján is két egyforma darabszámú csoportra oszthatók:

– kicsi vagy nagy,

– piros vagy zöld,

– körlap vagy négyzet,

– lyukas vagy sima.

El tudja-e Peti helyezni a 16 síkidomot egy kör mentén úgy, hogy a szomszédos alakzatok pontosan egy tulajdonságban egyezzenek meg?

(5 pont)

megoldás


K. 736. Egy cégnél 120 alkalmazott dolgozik: vízvezeték-szerelők, burkolók, kőművesek és festők. A vízvezeték-szerelők és a kőművesek mindannyian rendelkeznek jogosítvánnyal, a többiek pedig nem. A kőművesek és a festők a Pipacs utcában dolgoznak, a többiek a Kankalin utcában. A jogosítvánnyal nem rendelkező alkalmazottak száma 64, a Kankalin utcában dolgozóké 84. A vízvezeték-szerelők száma a festők számának kétszerese. Melyik foglalkozású alkalmazottból hány dolgozik a cégnél?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


K/C. 737. Ha van két ismert hosszúságú zsinórunk, akkor lemérhetjük és kijelölhetjük a két zsinór hosszának összegét, különbségét, illetve egy zsinór hosszát félbehajtással felezhetjük. Van egy 2240 centiméteres és egy 1760 centiméteres vékony zsinórunk, ezek segítségével szeretnénk kijelölni egy 10 centiméteres távolságot csupán egyetlen méréssel. (Az eljárás során tehát félbehajtással felezést akárhányszor végrehajthatunk, de összeg vagy különbség lemérését csak egyetlen alkalommal tehetjük meg.) Adjunk meg egy megfelelő eljárást.

(5 pont)

megoldás


K/C. 738. A falinaptáron a hónap napjait hét oszlopba rendezve tüntetik fel. Balról jobbra és utána fentről lefelé haladva az egyes oszlopok a hét napjainak megfelelő napok sorszámát tartalmazzák egymás után. Egy ilyen falinaptárban egy \(\displaystyle n\times n\)-es négyzetes elrendezésben található napsorszámok összege 198. Mekkora lehet az érintett napsorszámok között a legkisebb?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


C. 1733. Legfeljebb hány különböző pozitív prímosztója lehet egy olyan háromjegyű számnak, amelynek a három számjegye valamilyen sorrendben három, egymás utáni pozitív egész szám?

Berkó Erzsébet (Szolnok) javaslata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1734. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű \(\displaystyle k\) kör középpontja \(\displaystyle O\). Megrajzoljuk az \(\displaystyle OB\) átmérőjű \(\displaystyle k_1\) kört, illetve a \(\displaystyle k_1\) kört \(\displaystyle C\) pontban érintő, \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos egyenest, amely a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle D_2\) pontokban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle COD_1\sphericalangle\) és \(\displaystyle COD_2\sphericalangle\) szögek nagyságának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás


C. 1735. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a

$$\begin{align*} \sqrt{x}+\sqrt{y} & =6,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{5}{16} \end{align*}$$

egyenletrendszert.

(The Mathematical Association of America)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1736. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle CD\) oldalán felvesszük a \(\displaystyle P\) belső pontot, a \(\displaystyle CD\)-vel párhuzamos \(\displaystyle AB\) oldalon a \(\displaystyle Q\) belső pontot. A \(\displaystyle PA\) és \(\displaystyle QD\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle PB\) és \(\displaystyle QC\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle N\).

Határozzuk meg annak a feltételét, hogy \(\displaystyle MN\parallel AB\).

(Amerikai versenyfeladat ötletéből)

(5 pont)

megoldás


C. 1737. Aladár a \(\displaystyle 32.\) születésnapjára kapott két kockát. Az egyik kocka lapjait \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 6\)-ig megszámozta, a másikra rendre a \(\displaystyle 0; 1; 2; 7; 8; 9\) számokat írta. Ezekkel a kockákkal \(\displaystyle 10\)-től kezdve éppen az életkoráig, azaz \(\displaystyle 32\)-ig bármelyik pozitív egész számot kirakhatja, de a \(\displaystyle 33\)-at már nem. Köbüki kockák helyett szabályos oktaédereket használt. Az oktaéderek lapjaira egy-egy számjegyet írt, így \(\displaystyle 10\)-től kezdve a saját – években mért – életkoráig az összes egész számot kirakta. Hány éves most Köbüki, ha ez egy év múlva már nem sikerülne?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


B. 5262. Lenke leírt egy lapra egy természetes számot, amely nem tartalmaz 0-t, de tartalmaz legalább két különböző számjegyet. Ezután a szám alá leírta az összes olyan számot, amely az eredeti szám jegyei sorrendjének megváltoztatásával létrehozható. Legfeljebb mekkora lehet a lapon szereplő számok legnagyobb közös osztója?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5263. Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalainak négyzetösszege nem kisebb a félkerület négyzeténél.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5264. Ketten a következő játékot játsszák. Először Kezdő előírja egy \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 1\) sorozat tetszőleges számú (akár végtelen sok) elemét úgy, hogy végtelen sok elem még ne legyen előírva. Ezután Második előírja a sorozat legkisebb indexű még nem előírt elemének értékét. Majd ezeket a lépéseket ismételgetik felváltva a végtelenségig. Kezdő nyer, ha a kapott sorozat valahonnan kezdve periodikus, Második nyer, ha nem az. Van-e valakinek nyerő stratégiája (és ha igen, kinek)?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5265. Nagyítsuk kétszeresére egy derékszögű háromszög beírt körét a derékszögű csúcsból. Mutassuk meg, hogy a kapott kör érinti a háromszög körülírt körét.

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(4 pont)

megoldás


B. 5266. Néhány focista együtt nyaral. Összesen \(\displaystyle k\) klubból és \(\displaystyle n\) nemzetből valók, ahol \(\displaystyle k < n\). Bizonyítsuk be, hogy van közöttük legalább \(\displaystyle n-k+1\) olyan focista, aki több klubtársával nyaral együtt, mint honfitársával.

(5 pont)

megoldás


B. 5267. Adott egy \(\displaystyle p\) és egy \(\displaystyle q\) hosszúságú szakasz, valamint egy \(\displaystyle ABC\) háromszög, amelynek oldalegyenesei \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) a szokásos betűzés szerint. Szerkesszük meg az \(\displaystyle ABC\) körülírt körén azt a \(\displaystyle P\) pontot, amire \(\displaystyle P_a\) a \(\displaystyle P_bP_c\) szakaszt \(\displaystyle p:q\) arányban osztja, ahol \(\displaystyle P_x\) a \(\displaystyle P\) pont merőleges vetülete az \(\displaystyle x\) oldalegyenesre.

(5 pont)


B. 5268. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontját jelölje \(\displaystyle I\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében, az \(\displaystyle ABI\) körön vegyünk fel egy \(\displaystyle P\) pontot. Az \(\displaystyle AP\) egyenes \(\displaystyle AI\)-re vett tükörképe az \(\displaystyle ABI\) kört az \(\displaystyle A\)-n kívül még a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle CP=CQ\).

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

megoldás


B. 5269. Legyen \(\displaystyle p \ge 19\) egy páratlan szám. Színezzük ki a \(\displaystyle 0,1,\dots,p-1\) számokat két színnel. Legyen \(\displaystyle 1\le i\le p\) esetén \(\displaystyle x_i\) a \(\displaystyle \{0,1,\dots,p-1\}\) halmaz egy véletlenszerűen választott eleme (egyenletes eloszlás szerint, egymástól függetlenek a választások). Igazoljuk, hogy legalább \(\displaystyle 3/(2^pp)\) annak a valószínűsége, hogy \(\displaystyle x_1,\dots,x_p\) egyforma színűek és \(\displaystyle p \mid x_1+\ldots + x_p\).

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


A. 833. A koordináta-rendszer néhány rácspontját kiszínezzük pirosra, a többit fehérre. Egy ilyen színezést végesen univerzálisnak nevezünk, ha tetszőleges véges, nemüres \(\displaystyle A \subset \mathbb{Z}\) esetén létezik olyan \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\), hogy az \(\displaystyle (x,k)\) pont pontosan akkor van pirosra színezve, ha \(\displaystyle x\in A\).

\(\displaystyle a)\) Létezik-e olyan végesen univerzális színezés, hogy minden sorban véges sok rácspontot színezünk pirosra, és minden sort különbözőképpen színezünk meg, továbbá a pirosra színezett rácspontok halmaza összefüggő?

\(\displaystyle b)\) Létezik-e olyan végesen univerzális színezés, hogy minden sorban véges sok rácspontot színezünk pirosra, továbbá a pirosra és a fehérre színezett rácspontok halmaza is összefüggő?

A rácspontok egy \(\displaystyle H\) részhalmazát akkor nevezünk összefüggőnek, ha bármely \(\displaystyle x,y\in H\)-ra létezik egy olyan rácsvonalakon haladó út, amely csak \(\displaystyle H\)-beli pontokon megy át, és \(\displaystyle x\)-et összeköti \(\displaystyle y\)-nal.

Javasolta: Kocsis Anett (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A. 834. Legyen \(\displaystyle A_1A_2\ldots A_8\) konvex húrnyolcszög, és \(\displaystyle i=1,2\ldots,8\) esetén \(\displaystyle B_i= A_iA_{i+3}\cap A_{i+1}A_{i+4}\) (az indexek modulo 8 értendők). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle B_1,\ldots,B_8\) pontok egy kúpszeleten vannak.

(7 pont)

megoldás


A. 835. Jelölje \(\displaystyle f^{(n)}(x)\) az \(\displaystyle f\) függvény \(\displaystyle n\)-szeres iteráltját (azaz \(\displaystyle f^{(1)}(x)=f(x)\), \(\displaystyle f^{(n+1)}(x)=f\Big(f^{(n)}(x)\Big)\)).

Legyen \(\displaystyle p(n)\) egy adott egész együtthatós polinom, amely pozitív egész \(\displaystyle n\)-ekre pozitív egész értéket vesz föl. Lehet-e az \(\displaystyle f^{(n)}(n)=p(n)\) függvényegyenletnek pontosan egy \(\displaystyle f\colon \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\) függvény a megoldása?

Javasolta: Matolcsi Dávid és Szabó Kristóf (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)