KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.


K. 427. Hányféleképpen tudunk kiválasztani csak 8-as számjegyből álló pozitív egész számokat úgy, hogy az összegük 1000 legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 428. Gondoltunk egy pozitív egész számra. Adjuk össze 1-től a gondolt számig a páratlan, illetve a páros számokat. A páratlan számok összege 2014-gyel nagyobb, mint a páros számok összege. Melyik számra gondoltunk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 429. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlőszárú háromszög \(\displaystyle C\) csúcsánál lévő szög nagysága \(\displaystyle 120^\circ\). A szárfelező merőlegesek az alapot a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe háromszor akkora, mint a \(\displaystyle CDE\) háromszög területe.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 430. Vezessük be a következő jelölést: \(\displaystyle 33335 = 3_{4}5_{1}\), azaz az alsó indexbe írt szám jelölje, hogy az adott számjegyből mennyi van egymás mellett (az alsó indexben csak pozitív egész szám állhat). Adjuk meg ekkor a következő összegben a betűk értékét: \(\displaystyle 1_{x}4_{y}3_{z}8_{w}+ 4_{p}8_{q}3_{r} = 5_{2}9_{3} 7_{3}2_{2} 1_{1}\).

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 431. Egy 2 cm sugarú, kör alakú befőttesgumit úgy ,,nyomtunk'' össze két párhuzamos egyenes hurkapálcával, hogy a hurkapálcák egyenesei egymástól 2 cm-re álltak meg. A befőttesgumi hossza nem változott meg, de az általa kirajzolt alakzat most két félkörből és két párhuzamos szakaszból áll. Hányszorosára változott a befőttesgumi által közrefogott terület az ,,összenyomás'' során?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 432. Legyen egy derékszögű háromszög két befogójának hossza \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egység, átfogójának hossza \(\displaystyle c\) egység. Tudjuk, hogy \(\displaystyle a+b=4+c\). Hogyan viszonyul egymáshoz a háromszög kerületének és területének mérőszáma?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.


C. 1245. Vegyünk két szomszédos háromszögszámot, és az egyik háromszorosához adjuk hozzá a másikat. Mutassuk meg, hogy így ismét háromszögszámot kapunk.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1246. Egy húrtrapéz magassága 30 cm, szára 34 cm. A trapézba kör írható. Határozzuk meg a szárakon lévő érintési pontok távolságát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1247. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle x+\sqrt y =1,\)

\(\displaystyle \sqrt x+y =1.\)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1248. Határozzuk meg az összes \(\displaystyle \overline{abc}\) háromjegyű számot, melyre \(\displaystyle \overline{abc}= a!+b!+c!\), ahol \(\displaystyle n!\) jelöli 1-től \(\displaystyle n\)-ig a pozitív egész számok szorzatát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1249. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{\cos {15}^\circ}2 x^2 - \cos {45}^\circ x + \sin {15}^\circ}=3 +4\sin^2 15^\circ. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1250. Egy háromszög oldalai: \(\displaystyle a=2t-1\), \(\displaystyle b=t^2-1\), \(\displaystyle c=t^2-t+1\), ahol \(\displaystyle t>1\) valós szám. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének sugara \(\displaystyle (t-1)\frac{\sqrt 3}2\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1251. Egy egységnyi sugarú félkör alakú fémlemezt három körszelet levágásával trapézzá szabunk át. Hogyan válasszuk meg a trapéz méreteit, hogy a hulladék minimális legyen?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.


B. 4651. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számot egzotikusnak nevezzük, ha osztható a pozitív osztóinak számával. Bizonyítsuk be a következő állításokat:

\(\displaystyle a)\) Ha egy egzotikus szám páratlan, akkor ez a szám négyzetszám.

\(\displaystyle b)\) Végtelen sok egzotikus szám van.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4652. Egy háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyet a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők alkotnak?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4653. Hány olyan pozitív egészekből álló \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) rendezett számhármas van, amelyre igaz, hogy \(\displaystyle [a,b,c]=10!\) és \(\displaystyle (a,b,c)=1\)? (Az \(\displaystyle (a,b,c)\) a legnagyobb közös osztót, az \(\displaystyle [a,b,c]\) pedig a legkisebb közös többszöröst jelenti.)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4654. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben legyen \(\displaystyle AD\) magasság, \(\displaystyle BE\) szögfelező, \(\displaystyle CF\) pedig súlyvonal. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek pontosan akkor metszik egymást egy pontban, ha \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4655. Megoldható-e a pozitív egész számpárok halmazán a

\(\displaystyle 2012^{2015}=\binom n2 +\binom k2 \)

egyenlet?

Javasolta: Maga Balázs

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4656. Mutassuk meg, hogy bármely négyoldalú konvex testszögletnek létezik paralelogramma alakú síkmetszete.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4657. Egy háromszög beírható körének a sugara \(\displaystyle r\), a körülírt körének sugara pedig \(\displaystyle R\). Tegyük föl, hogy \(\displaystyle R < r \big(\sqrt{2}+1\big)\). Következik-e a feltételből, hogy a háromszög hegyesszögű?

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4658. Oldjuk meg a

\(\displaystyle 8^{2x-1}-1=343^{x-1}+\frac{3}{14} 28^x \)

egyenletet.

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4659. Adott az egységkörlapon \(\displaystyle n\) pont. Legfeljebb mennyi lehet a páronkénti távolságaik szorzata?

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.


A. 623. Legyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) három különböző pozitív valós szám. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok logaritmikus közepén a következő számot értjük:

\(\displaystyle L(a,b,c) = 2\left(\frac{a}{(\ln a-\ln b)(\ln a-\ln c)} + \frac{b}{(\ln b-\ln c)(\ln b-\ln a)} + \frac{c}{(\ln c-\ln a)(\ln c-\ln b)}\right).\)

Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt[3]{abc} < L(a,b,c) < \frac{a+b+c}{3}. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 624. \(\displaystyle a)\) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots\in[0,1]\) végtelen számsorozathoz létezik olyan \(\displaystyle C>0\) szám, hogy bármely \(\displaystyle r\) pozitív egészhez vannak olyan \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) pozitív egészek, amikre

\(\displaystyle |n-m|\ge r \quad\text{és}\quad |x_n-x_m|<\frac{C}{|n-m|}. \)

\(\displaystyle b)\) Mutassuk meg, hogy minden olyan \(\displaystyle C>0\) számhoz létezik olyan \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots \in[0,1]\) végtelen számsorozat és olyan \(\displaystyle r\) pozitív egész, hogy

\(\displaystyle |x_n-x_m|>\frac{C}{|n-m|} \)

teljesül minden olyan \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) pozitív egész párra, amikre \(\displaystyle |n-m|\ge r\).

CIIM6, Costa Rica

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 625. Legyen \(\displaystyle n\ge2\), és legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) az \(\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}\) halmaz bizonyos részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire igaz, hogy bármely \(\displaystyle A,B,C,D\in\mathcal{S}\) esetén \(\displaystyle |A\cup B\cup C\cup D|\le n-2\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle |\mathcal{S}|\le 2^{n-2}\).

CIIM6, Costa Rica

(Figyelem! A feladat a lapban pontatlanul jelent meg.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley