Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4027. feladat (2007. október)

B. 4027. Oldjuk meg az


\frac{x^2 + 1}{x^2 + 11} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{11x - 6}{6-x}}

egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha x=1, akkor mindkét oldal értéke 1/6, x=2 esetén 1/3, x=3 esetén pedig 1/2. Ez a három szám tehát megoldása az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül más megoldás nincs. Ha az x valós szám kielégíti az egyenletet, akkor megoldása a négyzetreemelés és a nevezőkkel történő beszorzás után kapott

36(6-x)(x2+1)2=(11x-6)(x2+11)2

egyenletnek is. A szorzásokat elvégezve, rendezés után a

p(x)=47x5-222x4+314x3-564x2+1367x-942=0

ötödfokú egyenletet kapjuk. Mivel ennek x=1 megoldása, p(x)-ből az x-1 gyöktényezőt kiemelhetjük:

p(x)=(x-1)(47x4-175x3+139x2-425x+942).

Ha tehát x\ne1, akkor

q(x)=47x4-175x3+139x2-425x+942=0.

Mivel ennek az egyenletnek x=2 és x=3 is megoldása, az x-2 és x-3 gyöktényezőket is kiemelhetjük:

q(x)=(x-2)(47x3-81x2-23x-471)=(x-2)(x-3)(47x2+60x+157).

Így ha x sem 1-gyel, sem 2-vel, sem pedig 3-mal nem egyenlő, akkor 47x2+60x+157=0. Ennek a másodfokú egyenleteknek viszont nincs megoldása, hiszen diszkriminánsa, 602-4.47.157 negatív.


Statisztika:

196 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:122 versenyző.
3 pontot kapott:44 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai