Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 378. feladat (2005. szeptember)

A. 378. Létezik-e olyan f:\mathbb{Q}\to\{-1,1\} függvény, amelyre f(x)=-f(y), valahányszor x és y különböző racionális számok, és xy=1 vagy x+y\in{0,1}?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.


Megoldás. Létezik ilyen függvény.

Mint ismeretes, tetszőleges x racionális szám egyértelműen írható véges lánctört alakban:

x=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\dots+\frac1{a_n}}},

ahol a0 egész szám, az a1,...,an számok pedig pozitív egészek és an>1. A lánctörtjegyeket egyszerű mohó algoritmussal kapjuk. Az a0 csak az x egész része lehet. Ha x nem egész, akkor az \frac1{\{x\}} számot kell tovább bontanunk. Az algoritmus során a felbontandó szám számlálója és nevezője az Euklideszi algoritmusnak megfelelően csökken, ezért az eljárás biztosan véget ér.

Legyen tetszőleges racionális x-re \ell(x) az x lánctört alakjában a törtvonalak száma (azaz a fenti n index). A lánctörtképzés szabályai szerint \ell(x)=0, ha x egész, és \ell(x)=\ell(1/x)+1 ha 0<x<1.

Definiáljuk az f függvényt a következőképpen.

f(0)=-1;    f(x)=(-1)^{\ell(x)}, ha x>0;    f(x)=-(-1)^{\ell(|x|)}, ha x<0.

Az \ell(x) függvény definíciójából következik, hogy ha x pozitív racionális szám és k pozitív egész, akkor \ell(x+k)=\ell(x) és f(x+k)=f(x).

Most megmutatjuk, hogy f(1/x)=-f(x), ha x\ne0,\pm1. Mivel f(-x)=-f(x) és f(-1/x)=-f(1/x), ezt elég pozitív x-ekre igazolni. Mivel pedig x és 1/x szerepe is felcserélhető, feltehetjük, hogy 0<x<1. Ekkor viszont \ell(x)=\ell(1/x)+1, azaz f(1/x)=-f(x).

Az f függvény definíciójából láthatjuk, hogy ha x+y=0, akkor f(x)=-f(y), kivéve az x=y=0 esetet. Ezért már csak azt kell igazolnunk, hogy f(1-x)=-f(x), ha x\ne\frac12. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy x>\frac12.

Ha x>1, akkor f(x)=f(x-1)=-f(1-x), kész vagyunk. Ha x=1, akkor f(x)=f(1)=1 és f(1-x)=f(0)=-1, szintén kész vagyunk. Marad az az eset, amikor \frac12<x<1. Ekkor pedig

f(x)=-f
\left(\frac1x\right)=
-f\left(\frac1x-1\right)=
-f\left(\frac{1-x}x\right)=

=f\left(\frac{x}{1-x}\right)=
f\left(\frac{x}{1-x}+1\right)=
f\left(\frac1{1-x}\right)=
-f(1-x).

Az f függvény tehát mindegyik feltételnek eleget tesz.

Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy a feltételek és f(1) értéke az összes többi értéket meghatározzák, ezért csak a most definiált f függvény és (-1)-szerese teljesíti a feltételeket.


Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Erdélyi Márton, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Molnár 999 András, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Ureczky Bálint.
4 pontot kapott:Korándi Dániel, Radnai András, Szilágyi Dániel.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai