Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 382. feladat (2005. október)

A. 382. Adottak a diszjunkt S és T halmazok, valamint az S elemein a *, a T elemein a o kétváltozós művelet (tehát a,b\inS, illetve c,d\inT esetén a*b\inS és cod\inT). Mindkét művelet asszociatív; más szóval: (S,*) és (T,o) félcsoportok.

Azt is tudjuk, hogy tetszőleges t\inT-hez léteznek olyan u,v\inT elemek, amelyekre uot=tov=t.

Legyen f\colon S\to T egy tetszőleges leképezés. Definiáljuk az S\cupT halmazon a \otimes műveletet a következőképpen:

a\otimes b = \cases{ a * b & \text{ha \ } a,b\in S, \cr f(a) \circ b & \text{ha \ } a\in S,\ b \in T, \cr a \circ f(b) & \text{ha \ } a\in T,\ b\in S, \cr a \circ b & \text{ha \ } a,b\in T. \cr }

Mutassuk meg, hogy a \otimes művelet akkor és csak akkor asszociatív, ha f homomorfizmus, azaz tetszőleges a,b\inS esetén f(a*b)=f(a)of(b).

Cseh versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. (a) Ha f homomorfizmus, akkor \otimes triviálisan asszociatív.

(b) Tegyük fel, hogy \otimes asszociatív és legyen a,b\inS két tetszőleges elem. A feltétel szerint léteznek olyan u,v\inT elemek, amelyekre uof(a)=f(a), illetve f(a*b)ov=f(a*b). Ekkor

f(a*b)=f(a*b)\circ v=(a\otimes b)\otimes v = a \otimes (b\otimes v) = f(a)\circ(f(b)\circ v) = f(a)\circ f(b).

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Erdélyi Márton, Estélyi István, Fischer Richárd, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kónya 495 Gábor, Korándi Dániel, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland.
4 pontot kapott:Kisfaludi-Bak Sándor, Tomon István.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai