Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 436. feladat (2007. október)

A. 436. Bizonyítsuk be, hogy


\big| \big\{n\sqrt2\,\big\} - \big\{n\sqrt3\,\big\}\big| > \frac1{20n^3}

tetszőleges pozitív egész n esetén.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen t=\big\{n\sqrt2\,\big\}-\big\{n\sqrt3\,\big\} és k=\big[n\sqrt3\big]-\big[n\sqrt2\big]. Ekkor t=k-\big(\sqrt3-\sqrt2\big)n\ne0, mert \sqrt3-\sqrt2=\sqrt{5-2\sqrt6} irracionális.

A t számot szorozva és osztva a \sqrt2 és \sqrt3 előjelének felcserélésével kappható kifejezésekkel,


t = \frac{
\big(k-(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(k-(\sqrt3+\sqrt2)n\big)
\big(k+(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(k+(\sqrt3+\sqrt2)n\big)}{
\big(k-(\sqrt3+\sqrt2)n\big)\big(k+(\sqrt3-\sqrt2)n\big)
\big(k+(\sqrt3+\sqrt2)n\big)} =


= \frac{k^4-10k^2n^2+n^4}{
\big(t-2\sqrt2n\big)\big(t+2(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(t+2\sqrt3n\big)}.

A számláló 0-tól különböző egész szám. Ha |t|\le\frac1{20}, akkor a nevezőben

 \big|t-2\sqrt2n\big| \le 2\sqrt2n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt2+\frac1{20}\right)n,

 \big|t+2(\sqrt3-\sqrt2)n\big| \le 2(\sqrt3-\sqrt2)n+\frac1{20} \le 
\left(2\sqrt3-2\sqrt2+\frac1{20}\right)n

és

 \big|t+2\sqrt3n\big| \le 2\sqrt3n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt3+\frac1{20}\right)n,

tehát

 |t| \ge \frac1{
\big(2\sqrt2+\frac1{20}\big)
\big(2\sqrt3+2\sqrt2-\frac1{20}\big)
\big(2\sqrt3+\frac1{20}\big)n^3} > \frac1{7n^3}.

Összességében azt kaptuk, hogy

 |t| \ge \min\left(\frac1{20},\frac1{7n^3}\right) \ge \frac1{20n^3}.


Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Tomon István.
3 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai