Az A. 464. feladat (2008. november)

A. 464. Legyen H egy halmaz, és P(H) a H részhalmazainak halmaza. Tegyük fel, hogy f és g olyan P(H)P(H) függvények, amelyekre tetszőleges XYH halmazok esetén f(X)f(Y)H és g(X)g(Y)H. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan A,BH halmazok, amikre f(A)=H\B és g(B)=H\A.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen tetszőleges XH esetén h(X)=H\g(H\f(X)).

Tegyük fel, hogy AH olyan halmaz, amire h(A)=A, és legyen B=H\f(A). Ezzel a választással az f(A)=H\B egyenlőség triviálisan teljesül. Mivel pedig A=h(A)=H\g(H\f(A))=H\g(B), az is igaz, hogy g(B)=H\A.

A cél tehát olyan A halmaz létezésének bizonyítása, amire h(A)=A.

Megjegyezzük, hogy a f és g függvényekhez hasonlóan a h függvény is monoton növekvő, azaz tetszőleges XYH halmazok esetén h(X)h(Y).

Egy XH halmazt nevezzünk szépnek, ha Xh(X). Legyen A a szép halmazok uniója:

Megmutatjuk, hogy h(A)=A. Legyen A'=h(A).

Tetszőleges X szép halmazra XA; a monotontás miatt Xh(X)h(A), és így

Az A halmaz tehát szép, Ah(A).

A h monotonitása miatt A' is szép: AA'-ből következik, hogy A'=h(A)h(A'). Az A halmaz azonban az összes szép halmaz uniója, ezért a szép A'=h(A) halmaz részhalmaza A-nak.

Mint láttuk, az is igaz, hogy Ah(A), és az is, hogy h(A)A. Tehát A=h(A).

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Tomon István, Tossenberger Anna.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai