Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 509. feladat (2010. május)

A. 509. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan c>0 valós szám, amire a következő tulajdonság teljesül: tetszőleges a_1,a_2,\ldots,a_n páronként különbőző pozitív egészek (n\ge3) között van három olyan, amelyek legkisebb közös többszöröse legalább c.n2,99.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Az állítást három olyan esetben bizonyítjuk, amelyek együttesen lefedik az összes lehetséges sorozatot.

1. eset: Van olyan 1\lek\len-2, amire \frac{a_{k+2}}{a_k}<1+2000n^{-1+\frac1{300}}.


[a_k,a_{k+1},a_{k+2}] =
\frac{a_ka_{k+1}a_{k+2} \cdot (a_k,a_{k+1},a_{k+2})}{
(a_k,a_{k+1})\cdot(a_k,a_{k+2})\cdot(a_{k+1},a_{k+2})}\ge


\ge \frac{a_k^2a_{k+1}\cdot1}{(a_{k+1}-a_k)(a_{k+2}-a_k)(a_{k+2}-a_{k+1})} =


=
\frac1{\big(\frac{a_{k+1}}{a_k}-1\big)\big(\frac{a_{k+2}}{a_k}-1\big)\big(\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-1\big)}
> \frac1{\big(\frac{a_{k+2}}{a_k}-1\big)^3}
> \frac1{\Big(2000n^{-1+\frac1{300}}\Big)^3}
> \frac{n^{2,99}}{10^{10}}.

2. eset: n\ge2000, és \frac{a_{k+2}}{a_k}\ge 1+2000n^{-1+1000\frac1{300}} minden 1\lek\len-2 esetén.


a_n
\ge \frac{a_3}{a_1} \cdot \frac{a_5}{a_3} \cdot\ldots\cdot
\frac{a_{2\lceil n/2\rceil-1}}{a_{2\lceil n/2\rceil-3}}
\ge \left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}/2}.

Mivel \frac{n-1}{1800}>1, a Bernoulli-egyenlőtlenségből


\left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}{1800}} \ge
1+\frac{n-1}{1800}\cdot 2000n^{-1+\frac1{300}} >
\frac{n}{2000}\cdot 2000n^{-1+\frac1{300}} >
n^{\frac1{300}}.

Tehát,


[a_1,a_2,a_n] \ge a_n > 
\left(\left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}{1800}}\right)^{900} \ge
\left(n^{\frac1{300}}\right)^{900} = n^3.

3. eset: n<2000.


[a_1,a_2,a_3] > 1 > \frac{n^3}{10^{10}}.

Az állítás tehát minden sorozatra teljesül a c=10-10 választással.


Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai