Az A. 751. feladat (2019. április)

A. 751. Legyen \(\displaystyle c>0\) valós szám, és tegyük fel, hogy bármely \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén az \(\displaystyle 1^c,2^c,3^c,\ldots,n^c\) számoknak legalább az egy százaléka egész. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle c\) egész szám.

(7 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(x)=x^c\), és indirekte tegyük fel, hogy valamilyen pozitív egész számra \(\displaystyle k<c<k+1\). A sűrűségi feltétel miatt végtelen sok olyan \(\displaystyle N\) egész létezik, amelyre az \(\displaystyle f(N),f(N+1),\dots,f\big(N+200(k+2)\big)\) számok között legalább \(\displaystyle k+2\) egész van, legyenek ezek \(\displaystyle f(N+d_1)<\ldots<f(N+d_{k+2})\).

Az osztott differenciák középtétele miatt van olyan \(\displaystyle \xi\in(N+d_1,N+d_{k+2})\), amelyre

\(\displaystyle \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!} = f[N+a_1,N+a_2,\ldots,N+a_{k+2}] = \sum_{i=1}^{k+2} \frac{f(N+a_i)}{\prod\limits_{j\ne i}(a_j-a_i)}. \)

A jobboldalon minden nevező osztója \(\displaystyle \big(200(k+2)\big)!\)-nak. Átszorozva

\(\displaystyle \frac{\big(200(k+2)\big)!}{(k+1)!} \cdot f^{k+1}(\xi) = \sum_{i=1}^{k+2} \frac{\big(200(k+2)\big)!}{\prod\limits_{j\ne i}(a_j-a_i)} f(N+a_i). \)

A jobboldalon egész szám áll. A baloldal \(\displaystyle C\cdot\xi^{c-k-1}\) alakú; pozitív és \(\displaystyle 0\)-hoz tart, ellentmondás.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Schrettner Jakab.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai