A B. 3839. feladat (2005. szeptember)

B. 3839. Az ABC háromszög A-ból induló szögfelezője D-ben metszi a BC oldalt. A B és a C ponton keresztül olyan b, illetve c egyenest rajzolunk, amelyek egymással párhuzamosak, és egyenlő távolságra vannak A-tól. Legyen M a b, N pedig a c egyenesnek az a pontja, amelyre AB a DM szakaszt, AC pedig a DN szakaszt felezi. Bizonyítsuk be, hogy DM=DN.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Húzzunk a b,c egyenesekkel párhuzamos egyeneseket az A és a D pontokon keresztül. Az első egyenes CB szakasszal alkotott metszéspontját jelölje F, a másodiknak az AB egyenessel alkotott metszéspontját pedig K. A DM és DN szakaszok felezőpontját jelölje M' illetve N', az AB szakasz felezőpontja pedig legyen G. Ekkor az F pont felezi a BC szakaszt, M' pedig a BK szakaszt. Az egymáshoz hasonló AFB és KDB háromszögben FG és DM' egymásnak megfelelő súlyvonalak, ezek közül az előbbi egyben az ABC háromszög egyik középvonala is. Ezért DM'/DB=FG/FB, ahonnan DM=2DM'=2FG^.DB/FB=2AC^.DB/BC. Ugyanígy kapjuk, hogy DN=2AB^.DC/BC, ahonnan

${DM\over DN}={AC\over AB}\cdot{DB\over DC}=1$

következik a szögfelező-tétel alapján.

Megjegyzés: Ha b és c lehetne ugyanaz az egyenes, akkor b=c=BC teljesül, és ebben az esetben csak akkor igaz az állítás, ha AB=AC.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Baranyai J. Attila, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cséke Balázs, Csima Géza, Csorba János, Dányi Zsolt, Eisenberger András, Fehér Judit, Fekete Balázs Samu, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Hülber Tímea, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Klimaj Zoltán, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Magda Gábor, Majoros Csilla, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Molnár 914 Tamás, Müller Márk, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Németh 546 Attila György, Pesti Veronika, Pirkó Dániel, Radnai András, Salát Zsófia, Sommer Dániel, Szabó Levente, Szakács Nóra, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szijártó Gábor, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Vida Eszter, Vidnyánszky Zoltán.

4 pontot kapott: 6 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 14 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baranyai J. Attila, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cséke Balázs, Csima Géza, Csorba János, Dányi Zsolt, Eisenberger András, Fehér Judit, Fekete Balázs Samu, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Hülber Tímea, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Klimaj Zoltán, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Magda Gábor, Majoros Csilla, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Molnár 914 Tamás, Müller Márk, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Németh 546 Attila György, Pesti Veronika, Pirkó Dániel, Radnai András, Salát Zsófia, Sommer Dániel, Szabó Levente, Szakács Nóra, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szijártó Gábor, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Vida Eszter, Vidnyánszky Zoltán.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?