A B. 3843. feladat (2005. október)

B. 3843. Megadható-e a síkban négy különböző pont úgy, hogy közülük bármelyik kettőhöz létezzen rajtuk átmenő kör, amelyhez a másik két pontból egyenlő hosszúságú érintők húzhatók?

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Nem. Ha a három pont közül A,B,C ebben a sorrendben egy egyenesre esik, akkor a B pont a belsejében lesz bármely olyan körnek, amely áthalad az A és C pontokon, ebből a pontból tehát a körhöz érintő egyáltalán nem húzható.

Ha az A,B,C,D pontok ebben a sorrendben egy konvex négyszög csúcsai, melynek mondjuk az A és C csúcsoknál lévő szögeinek összege legalább 180^o, akkor az A és C pontok közül legfeljebb egy eshet kívül egy olyan k körön, amely a B és D pontokra illeszkedik. Ez a kerületi szögek tétele segítségével könnyen levezethető, ugyanis ha A és C is kívül esnek a k körön, akkor, mivel a BD egyenes különböző oldalára esnek, a BAD illetve BCD szögek kisebbek annál a két szögnél, mely alatt a BD szakasz a k kör megfelelő oldalon lévő pontjaiból látszik; e két szög összege pedig éppen 180^o.

Végül, ha a D pont az ABC háromszög belsejében van, akkor nem nehéz megmutatni, hogy tetszőleges olyan k körre, amely illeszkedik az A és B pontokra, és amelyen mind a C, mind a D pont kívül esik, igaz lesz, hogy D közelebb van a kör középpontjához, mint C. Ugyanis, ha tekintjük azt a k-val koncentrikus k' kört, amelyáthalad C-n, annak az A és B pontok a belsejében vannak, tehát a C csúcstól eltekintve a teljes ABC háromszög, így maga a D pont is a k' belsejébe esik. Ekkor pedig a D-ből k-hoz húzott érintőszakaszok rövidebbek lesznek a C-ből húzottaknál (lásd a szeptemberi B. 3833. feladat megoldását).

Statisztika:

204 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Balambér Dávid, Berna Zoltán, Bohner Gergő, Csata Árpád, Csizmadija Laura, Dombi Péter, Dudás János, Dudás László, Fülöp Bálint, Grósz Dániel, Halász Máté, Heinczinger Ádám, Kálmán Kornél, Kiss 002 Benedek, Kiss 243 Réka, Koszta Botond, Kozics 111 György, Kőhalmi István, Kristóf Panna, Kriván Bálint, Kunovszki Péter, Lajos Máté, Meggyes Balázs, Pálovics Róbert, Pap Bálint, Réti Norbert, Sárkány Lőrinc, Szabó Beáta Tünde, Szabó Levente, Szívós Eszter, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András, Weisz 111 István.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	41 versenyző.
0 pontot kapott:	107 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai