A B. 3845. feladat (2005. október)

B. 3845. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB és AC oldalak hossza, valamint az A csúcsnak a BC oldal C-hez közelebbi harmadolópontjától mért távolsága.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a harmadolópontot H, és a háromszög oldalainak szokásos jelölése mellé vezessük be még a h=AH jelölést is. Egészítsük ki a háromszöget egy ABA'C paralelogrammává, amelyben legyen F a CA' oldal felezőpontja. Ekkor az ABH és FCH háromszögek hasonlók, mivel AB:FC=HB:HC=2 és az ABH szög egyenlő az FCH szöggel. Ezért az AHB és FHC szögek is egyenlők, vagyis az A,H,F pontok egy egyenesre esnek, továbbá AH:HF=2 miatt AF=3h/2. Ismerjük tehát az ACF háromszög oldalait, ezek AC=b,CF=c/2,AF=3h/2. Ha az ACF háromszöget ezek alapján megszerkesztjük, akkor az A pontból CF-fel párhuzamosan a c szakaszt felmérve megkapjuk a keresett háromszög B csúcsát is. Látszik, hogy minden esetben egybevágóság erejéig egyértelmű megoldást kapunk, a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele, hogy c,2b és 3h kielégítsék a háromszög-egyenlőtlenséget.

Statisztika:

237 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	90 versenyző.
3 pontot kapott:	103 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai