Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3846. feladat (2005. október)

B. 3846. Oldjuk meg a

$\root4\of{2 - x} + \root4\of{15 + x} = 3$

egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen $A=\root{4}\of{2-x}$ és $B=\root{4}\of{15+x}$ , ekkor A+B=3 és A⁴+B⁴=17. Az utóbbit (A+B)⁴=81-ből kivonva

64=4A³B+6A²B²+4AB³=4AB(A²+B²)+6(AB)²

adódik. Az AB=t helyettesítéssel ezt a 4t(9-2t)+6t²=64 alakra hozhatjuk. Az ebből kapott t²-18t+32=0 másodfokú egyenlet megoldásai t=16 és t=2. A gyökök és együtthatók között fennálló összefüggés szerint tehát A és B vagy az x²-3x+16=0, vagy az x²-3x+2=0 egyenlet megoldásai. Mivel az első egyenletnek nincs megoldása, kapjuk, hogy A=1, x=1 vagy pedig A=2, x=-14. Az egyenletet mindkét kapott érték kielégíti.

Statisztika:

275 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 139 versenyző.

3 pontot kapott: 49 versenyző.

2 pontot kapott: 28 versenyző.

1 pontot kapott: 33 versenyző.

0 pontot kapott: 22 versenyző.

Nem versenyszerű: 4 dolgozat.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai

275 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	139 versenyző.
3 pontot kapott:	49 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	33 versenyző.
0 pontot kapott:	22 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.