Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3848. feladat (2005. október)

B. 3848. A 100-oldalú \boldsymbol{K} konvex sokszög az 1 méter oldalú négyzet belsejében fekszik. Mutassuk meg, hogy \boldsymbol{K} csúcsai közül kiválasztható három úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe kisebb, mint 8 cm2.

(XIV. NMMV feladata 12. évfolyamosoknak)

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás: A sokszög minden egyes oldalát vetítsük le merőlegesen a négyzet azon oldalaira, amelyekre az adott oldal pontjaibol húzott merőlegesek végig a sokszögön kívül haladnak. Így ha valamelyik oldal párhuzamos volt a négyzet egy oldalával, ahhoz egy vele egyenlő hosszúságú vetület tartozik, a többi oldal mindegyikéhez pedig kettő, melyek együttes hossza nagyobb az adott oldalénál. Mivel semelyik két vetületnek nincs közös belső pontja, látható, hogy a sokszög kerülete kevesebb, mint a négyzet kerülete, ami 400 cm. Ebből következik, hogy a sokszögnek van két egymást követő oldala, a és b, melyek együttes hossza kevesebb, mint 8 cm. A számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség alapján ab/2\le(a+b)2/8<8 cm2, e két oldal három végpontja tehát megfelelő választás lesz.


Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Árvay Anna, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Bus Norbert, Cseh Ágnes, Csorba János, Dányi Zsolt, Faragó Kornél, Gaizer Tünde, Györgyi Péter, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 100 Réka, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Németh 007 Zsolt, Németh 546 Attila György, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Varga 171 László, Zentai 222 Barbara.
4 pontot kapott:23 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai