Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3903. feladat (2006. április)

B. 3903. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:


x-\sqrt{\frac{x}{x+3}}=\frac{2}{x+3}.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.


Megoldás: Az egyenletben szereplő kifejezések akkor értelmesek, ha x\ge0, vagy x<-3. Az x\ge0 feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az

x(x+3)-\sqrt{x(x+3)}=2

egyenlettel. A \sqrt{x(x+3)} mennyiséget y-nal jelölve, y2-y-2=0, vagyis y lehetséges értékei 2 és -1. Lévén y\ge0, azt kapjuk, hogy x(x+3)=y2=4, ahonnan x lehetséges értékei -4 és 1. Az x\ge0 feltételt ezek közül csak az x=1 elégíti ki, ez valóban megoldása is az egyenletnek.

Az x<-3 feltétel mellett egyenletünk az

x(x+3)+\sqrt{x(x+3)}=2

egyenlettel ekvivalens, vagyis most y2+y-2=0, ahonnan y>0 miatt y=1, tehát egy x<-3 szám pontosan akkor megoldása az eredeti egyenletnek, ha rá x2+3x-1=0 teljesül.

Az egyenletnek tehát két megoldása van, x1=1 és x_2=-(3+\sqrt{13})/2.


Statisztika:

145 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Anda Roland, Bakó Lilla, Berna Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cserép Gergely, Csizmadija Laura, Csorba János, Faragó Kornél, Földes Imre, Godó Zita, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Móri Bálint, Müller Márk, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Priksz Ildikó, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 126 Tibor, Werner Miklós.
2 pontot kapott:21 versenyző.
1 pontot kapott:30 versenyző.
0 pontot kapott:64 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai