Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3907. feladat (2006. április)

B. 3907. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

sin x+cos x+sin xcos x=1.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: A megoldást keressük először a [0,2\pi) intervallumban. Ha cos x vagy sin x értéke negatív, akkor a baloldalon álló összeg 3 tagja közül legfeljebb egy lehet pozitív, és az sem lehet 1-nél nagyobb. Ezért feltehető, hogy 0\lex\le\pi/2. Ha 0<x<\pi/2, akkor a háromszög-egyenlőtlenség miatt sin x+cos x>1, másrészt sin xcos x>0. Ezért csak x=0 és x=\pi/2 jöhet szóba. Mivel ezek valóban megoldást szolgáltatnak, a trigonometrikus függvények periodicitása miatt az összes megoldást a 2k\pi és a 2k\pi+\pi/2 számok szolgáltatják, ahol k az egész számokon fut végig.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:63 versenyző.
2 pontot kapott:21 versenyző.
1 pontot kapott:26 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai