Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3946. feladat (2006. november)

B. 3946. A hegyesszögű ABC háromszög C-ből induló szögfelezője messe a szemközti oldalt az F pontban. Az F-ből a BC, illetve CA oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre P és Q. Legyen M az AP és BQ egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy AB és CM merőleges egymásra.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A szögfelező tétel miatt a szokásos jelölésekkel élve

AF=\frac{bc}{a+b}\quad \hbox{\rm és}\quad BF=\frac{ac}{a+b},

ahonnan

AQ=\frac{bc}{a+b}\cos\alpha\quad \hbox{\rm és}\quad
BP=\frac{ac}{a+b}\cos\beta.

Ha X a C-ből induló magasság talppontja, akkor AX=bcos \alpha és BX=acos \beta. Továbbá a CQF és CPF derékszögű háromszögek egybevágósága miatt CQ=CP. Mindezt összevetve

AX.BP.CQ=XB.PC.QA,

vagyis Ceva tételének megfordítása alapján az AP, BQ és CX szakaszok egy ponton mennek át, tehát a CM egyenes megegyezik a CX egyenessel.


Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ábrók Levente, Aczél Gergely, Anda Roland, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Dibuz Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dobribán Edgár, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Gresits Iván, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Károlyi Gergely, Konkoly Csaba, Kornis Kristóf, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Németh Kitti Noémi, Ölvedi Tibor, Páldy Sándor, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó Levente, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tolner Ferenc, Tossenberger Anna, Vajsz Tibor, Véges Márton.
3 pontot kapott:Ripszám Réka.
2 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai