KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4002. feladat (2007. május)

B. 4002. Bizonyítsuk be, hogy minden n>1 egész számhoz található olyan egészekből álló a_1=n<a_2<a_3<\ldots sorozat, amelyre minden k esetén a_1^2+\ldots+ a_k^2 osztható az a_1+\ldots+a_k számmal.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Tegyük fel, hogy rögzített n mellett az a_1,a_2,\ldots, a_k számokat már megtaláltuk úgy, hogy n=a_1<a_2<\ldots<a_k,

s=a_1+a_2+\ldots+a_k\mid a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2=t

és s<t. Ezt k=1 esetén nyilván meg tudjuk tenni, hiszen n\mid n^2 és n<n2. Az x=ak+1 számra teljesülnie kell az x+s\mid x^2+t oszthatóságnak. Mivel x+s\mid x^2-s^2, ez ekvivalens az x+s\mid s^2+t feltétellel, amit x=s2-s+t nyilván kielégít. Ekkor ak\les<t\lex is teljesül, és nyilván s+x<t+x2 is. A rekurzív definíció elve alapján tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező sorozat.


Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka.
2 pontot kapott:Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley