KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4010. feladat (2007. május)

B. 4010. A p(x) és q(x) valós együtthatós polinomok semmilyen valós x esetén nem veszik fel ugyanazt az értéket, és minden x-re

p(q(x))=q(p(x)).

Igazoljuk, hogy a p(p(x)) és a q(q(x)) polinomok sem vesznek fel ugyanolyan értéket semmilyen x-re.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben p(p(\alpha))=q(q(\alpha))=c valamilyen \alpha valós számra. Legyen a=p(\alpha), b=q(\alpha), ekkor p(a)=q(b)=c. Az első feltétel szerint a\neb, a második feltétel szerint pedig q(a)=q(p(\alpha))=p(q(\alpha))=p(b)=d. A p(a)\neq(a) feltétel miatt c\ned. A p függvény grafikonja összeköti az (a,c) pontot a (b,d) ponttal, a q függvény grafikonja pedig az (a,d) pontot a (b,c) ponttal. A két grafikon valahol metszi egymást: létezik olyan a<\beta<b szám, amelyre p(\beta)=q(\beta). Ez viszont ellentmond az első feltételnek.


Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Éles András, Énekes Péter, Gele Viktória, Godó Zita, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wagner Zsolt.
3 pontot kapott:Aczél Gergely, Dinh Hoangthanh Attila, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mihálykó Ágnes, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley