Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4054. feladat (2008. január)

B. 4054. Egy háromszögbe írt kör sugara r. A körnek az oldalakkal párhuzamosan húzott érintői egy-egy kisebb háromszöget vágnak le az eredeti háromszögből. Bizonyítsuk be, hogy a kis háromszögekbe írt körök sugarának összege szintén r.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai a,b,c, területe t. Ha i $\in$ {a,b,c}, akkor az i oldallal párhuzamos érintővel levágott kis háromszög hasonló lesz az eredetihez, ahol a hasonlóság aránya, $\alpha$ _i=(m_i-2r)/m_i=1-2r/m_i. Ennek alapján a kis háromszögekbe írt körök sugarának összege

$(\alpha_a+\alpha_b+\alpha_c)r=\Bigl\{3-2r\Bigl(\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+ \frac{1}{m_c}\Bigr)\Bigr\}r=\Bigl\{3-2r\Bigl(\frac{a}{2t}+\frac{b}{2t}+ \frac{c}{2t}\Bigr)\Bigr\}r=$

$=\Bigl\{3-2\cdot\frac{r(a+b+c)}{2t}\Bigr\}r= \Bigl(3-2\cdot\frac{2t}{2t}\Bigr)r=r.$

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 97 versenyző.

2 pontot kapott: 28 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	97 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.