Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4060. feladat (2008. január)

B. 4060. Határozzuk meg az összes olyan f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} függvényt, amelyre tetszőleges x, y valós számok esetén

f(x)+f(x+f(y))=2x+y.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az x=0, y=f(0) helyettesítéssel f(0)+f(0+f(f(0)))=2.0+f(0), vagyis az f(f(0))=a jelöléssel f(a)=0. Ha x=y=a, akkor a feltétel szerint 0=2f(a)=3a, a=0. Ha tehát létezik ilyen f függvény, arra szükségképpen f(0)=0. Ekkor tetszőleges x valós szám esetén az y=0 helyettesítéssel 2f(x)=2x adódik, vagyis f(x)=x teljesül minden x-re. Mivel ez a függvény minden x,y valós számpárra ki is elégíti az egyenletet, a feladat egyetlen megoldása az f(x)=x függvény.

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:75 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai