A B. 4265. feladat (2010. április)

B. 4265. Színezzük ki a pozitív egész számokat 7 színnel úgy, hogy minden a pozitív egész számra az {a,2a,3a,4a,5a,6a,7a} halmaz elemeinek színe páronként különböző legyen.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle a\) pozitív egész szám egyértelműen felírható \(\displaystyle a=2^x3^y5^z7^wb\) alakban, ahol \(\displaystyle x,y,z,w\) nemnegatív egész számok, a \(\displaystyle b\) pozitív szám pedig nem osztható a \(\displaystyle 2, 3, 5, 7\) prímek egyikével sem. Ezen felírás mellett az \(\displaystyle a\) szám színe legyen a \(\displaystyle 2x+3y+z+6w\) egész szám 7-tel való osztásakor keletkezett maradék. Ilyen módon minden egyes pozitív egész számot egyértelműen kiszíneztünk a \(\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6\) ``színek'' valamelyikével. Ez a színezés megfelelő, mert ha \(\displaystyle 2x+3y+z+6w=n\), akkor az \(\displaystyle a,2a,3a,4a,5a,6a,7a\) számokhoz rendelt színek rendre ugyanolyan maradékot adnak 7-tel osztva, mint az \(\displaystyle n, n+2, n+3, n+4, n+1, n+5, n+6\) számok, vagyis 7 különböző maradékot kapunk, ami a 7 különböző színnel történő színezésnek felel meg.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai