Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4394. feladat (2011. november)

B. 4394. Tekintsük az F1=F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2 rekurzióval definiált Fibonacci-sorozatot. Bizonyítsuk be, hogy k<m esetén


\sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3}

összetett szám.

Javasolta: Lenger Dániel (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A rekurzió alapján

\(\displaystyle \sum_{i=k}^{m} F_i F_{i+3}=\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}-F_{i+1})(F_{i+2}+F_{i+1}) =\sum_{i=k}^{m}(F_{i+2}^2-F_{i+1}^2)=\)

\(\displaystyle =F_{m+2}^2-F_{k+1}^2=(F_{m+2}-F_{k+1})(F_{m+2}+F_{k+1}).\)

Mivel \(\displaystyle m>k\) miatt \(\displaystyle F_m\ge F_{k+1}\) és \(\displaystyle m\ge 2\) is fennáll, itt

\(\displaystyle F_{m+2}+F_{k+1}>F_{m+2}-F_{k+1}\ge F_{m+2}-F_{m}=F_{m+1}\ge F_3=2,\)

vagyis mindkét tényező nagyobb, mint 1; szorzatuk valóban összetett szám.


Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dolgos Tamás, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Győrfi 946 Mónika, Halász Dániel, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szász Dániel Soma, Szőke Tamás, Takács 737 Gábor, Talyigás Gergely, Tanner Martin, Tardos Jakab, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai