Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4427. feladat (2012. február)

B. 4427. Mutassuk meg, hogy ha \alpha, \beta és \gamma egy háromszög szögei, akkor

(sin \alpha+sin \beta+sin \gamma)2>9sin \alphasin \betasin \gamma.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma\) 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,

\(\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.\)

A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},\)

ahonnan

\(\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)


Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:73 versenyző.
2 pontot kapott:26 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai