Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4447. feladat (2012. április)

B. 4447. Oldjuk meg a \sqrt{x-3} + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{{(x-2)}^3} egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az y=x-2 helyettesítéssel az egyenlet \sqrt{y-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{y^3} alakra hozható. A gyökös kifejezések pontosan akkor lesznek mind értelmesek, ha y\ge1; ekkor mindkét oldal nemnegatív. Az y\ge1 feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott

(y-1)+(y^2-1)+2\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=y^3

egyenlettel. Vezessük be a z=\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=\sqrt{y^3-y^2-y+1} változót, erre nézve a fenti egyenlet a z2-2z+1=0 alakra hozható, vagyis z=1. Ez azt jelenti, hogy az y3-y2-y+1=1, vagyis az y(y2-y-1)=0 egyenletet kell megoldanunk az y\ge1 feltétel mellett. Ennek megoldása y=(1+\sqrt{5})/2, ahonnan x=y+2=(5+\sqrt{5})/2.


Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:80 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai