A B. 4588. feladat (2013. december)

B. 4588. Adott az ABC háromszög belsejében a D pont. A CD, AD és BD egyenesek az AB, BC és CA oldalakat rendre az E, F és G pontokban metszik. Az EG és AF egyenesek metszéspontja H, az EF és BG egyenesek metszéspontja pedig I. Mutassuk meg, hogy az AB, FG és HI egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Alkalmazzuk a Desargues-tétel megfordítását az AGH és BFI háromszögekre. Mivel a megfelelő oldalpárok metszéspontjai (C=AG $\cap$ BF, D=AH $\cap$ BI, és E=GH $\cap$ FI) egy egyenesen vannak, a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek, nevezetesen AB, GF és HI egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak.

2. megoldás. Legyen AB metszéspontja a GF és a HI egyenessel M, illetve N. Azt akarjuk igazolni, hogy M=N; ehhez elég azt ellenőrizni, hogy (előjeles távolságokkal) $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NB}$ . (Ha GF vagy HI párhuzamos AB-vel, akkor $\frac{AM}{MB}=1$ , illetve $\frac{AN}{NB}=1$ .)

Írjuk fel a Ceva-tételt és a Menelaosz-tételt a következő hatféle módon.

Menelaosz-tétel az ABD háromszögre és az FGM egyenesre: $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BG}{GD} \cdot \frac{DF}{FA} = -1$

Menelaosz-tétel az ABD háromszögre és a HIN egyenesre: $\frac{BN}{NA} \cdot \frac{AH}{HD} \cdot \frac{DI}{IB} = -1$

Ceva-tétel az ADG háromszögre és az E pontra: $\frac{HD}{AH} \cdot \frac{BG}{DB} \cdot \frac{CA}{GC} = 1$

Menelaosz-tétel az ADG háromszögre és a BFC egyenesre: $\frac{DB}{BG} \cdot \frac{GC}{CA} \cdot \frac{AF}{FD} = -1$

Ceva-tétel a BFD háromszögre és az E pontra: $\frac{IB}{DI} \cdot \frac{CF}{BC} \cdot \frac{AD}{FA} = 1$

Menelaosz-tétel a BFD háromszögre és az AGC egyenesre: $\frac{BC}{CF} \cdot \frac{FA}{AD} \cdot \frac{DG}{GB} = -1$

A fenti 6 képlet szorzata $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NA} = 1$ . Tehát $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NB}$ , és így M=N. Ezzel az állítást igazoltuk.

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Andó Angelika, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Radó Hanna, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szegi Bogát, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Williams Kada.

4 pontot kapott: Herczeg József, Mócsy Miklós, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton, Tulassay Zsolt.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai

35 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Radó Hanna, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szegi Bogát, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Herczeg József, Mócsy Miklós, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton, Tulassay Zsolt.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?