 |
A B. 4617. feladat (2014. március) |
B. 4617. Mekkora szöget zárhat be egy derékszögű háromszög átfogója és az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal?
Holló Gábor (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) átfogójának felezőpontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle BC\) befogójának felezőpontja \(\displaystyle F\), a befogóhoz tartozó súlyvonalnak és az \(\displaystyle AB\) átfogónak a szöge \(\displaystyle \alpha\), az \(\displaystyle AB\) átfogó Thalész-köre \(\displaystyle k\), ennek a \(\displaystyle B\) középpontú, 1/2 arányú középpontos hasonlóságnál kapott képe pedig az \(\displaystyle m\) kör. Ekkor \(\displaystyle m\) az \(\displaystyle EB\) szakasz Thalész-köre, középpontja az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle B\)-hez legközelebbi \(\displaystyle O\) negyedelőpontja (1. ábra).
Az \(\displaystyle F\) pont felezi \(\displaystyle BC\)-t és \(\displaystyle C\) rajta van \(\displaystyle k\)-n, ezért \(\displaystyle F\) rajta van \(\displaystyle m\)-en, tehát az \(\displaystyle AF\) egyenesnek és \(\displaystyle m\)-nek van közös pontja. Így \(\displaystyle \alpha\) legfeljebb akkora, mint az \(\displaystyle A\)-ból \(\displaystyle m\)-hez húzott \(\displaystyle AD\) érintő és \(\displaystyle AB\) által bezárt \(\displaystyle \beta\) szög. Ezt a szöget az \(\displaystyle AOD\) derékszögű háromszögből határozhatjuk meg.
\(\displaystyle \sin \beta =\frac{OD}{OA}=\frac{\frac{1}{4}AB}{\frac{3}{4}AB}=\frac{1}{3}, \quad \text{azaz} \quad \beta=\arcsin \frac{1}{3}\approx 19{,}47^{\circ}. \)
1. ábra 2. ábra
Megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha \le \arcsin \frac{1}{3}\) esetén van olyan derékszögű háromszög, melyben az átfogó és az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal szöge \(\displaystyle \alpha\). Ha a feltétel teljesül, akkor az \(\displaystyle AB\) egyenes egyik oldalára felmérve az \(\displaystyle \alpha \) szöget, annak \(\displaystyle AB\)-tól különböző szára metszi \(\displaystyle m\)-et a \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle D_2\) pontokban, illetve érinti \(\displaystyle m\)-et \(\displaystyle D\)-ben, ha \(\displaystyle \alpha = \arcsin \frac{1}{3}\) (2. ábra). Mivel \(\displaystyle D_i\) rajta van \(\displaystyle m\)-en, azért ha \(\displaystyle B\)-ből kétszeresére nagyítjuk, akkor a kapott \(\displaystyle D_i'\) pont rajta lesz \(\displaystyle m\) kétszeresre nagyított képén, \(\displaystyle k\)-n, azaz az \(\displaystyle AB\) szakasz Thalész-körén. Ezért ha \(\displaystyle i=1,2\), akkor az \(\displaystyle ABD_i'\) háromszög derékszögű, és a \(\displaystyle BD'_i\) befogójához tartozó \(\displaystyle AD_i\) súlyvonala \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be az átfogójával.
Scheidler Barnabás (Bonyhád, Petőfi S. Ev. Gimn., 8. évf.) dolgozatát felhasználva
Statisztika:
104 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 63 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai