A B. 4643. feladat (2014. szeptember)

B. 4643. Léteznek-e olyan \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) egész számok, amelyekre

\(\displaystyle n^3-n-1=k^2-k+1? \)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn.)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg a két oldal 3-mal való lehetséges  osztási maradékait.

A bal oldal: \(\displaystyle n^{3}-n-1=n \big(n^{2}-1\big)-1= (n-1)n (n+1)-1\). Látható, hogy a kapott különbség első tagja mindig osztható 3-mal, hiszen 3 egymást követő egész szám szorzata. Ebből a szorzatból még kivonunk 1-et, tehát a bal oldal 3-mal osztva (minden \(\displaystyle n\) egészre) 2-t ad maradékul.

A jobb oldal: \(\displaystyle k^{2}-k+1=k (k-1)+1\). Mivel \(\displaystyle k\) egész, az összeg első tagja csak \(\displaystyle k=3l+2\) (ahol \(\displaystyle l\) egész) esetén lesz 3-mal nem osztható. Ha 3-mal osztható az első tag, akkor a jobb oldal 3-mal osztva 1-et ad maradékul, ami kizárja az egyenlőség lehetőségét a bal oldallal. A továbbiakban tehát csak \(\displaystyle k=3l+2\) alakú számok esetén vizsgáljuk a jobb oldalt. Ekkor

\(\displaystyle k^{2}-k+1= {(3l+2)}^{2}- (3l+2)+1=9l^{2}+9l+3=3\cdot \big(3l^{2}+3l+1\big), \)

tehát a jobb oldal osztható 3-mal.

Vagyis beláttuk, hogy a bal oldal mindig 2-t, a jobb oldal pedig 1-et vagy 0-t ad osztási maradékul a 3-mal való osztásnál. Ezzel bebizonyítottuk, hogy nem léteznek olyan \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) egész számok, amelyekre teljesülne az egyenlet.

Kovács Dávid (Veszprém, Lovassy László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

292 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	239 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai