A B. 4961. feladat (2018. május)

B. 4961. Három egységnyi sugarú kör metszetét az \(\displaystyle \widehat{AB}\), \(\displaystyle \widehat{AC}\) és \(\displaystyle \widehat{BC}\) körívek határolják, a metszet kerülete \(\displaystyle k\). Számítsuk ki az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) középpontú, egységnyi sugarú körök metszetének kerületét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) középpontú, egységnyi sugarú körök metszetét az \(\displaystyle \widehat{A_1B_1}\), \(\displaystyle \widehat{A_1C_1}\) és \(\displaystyle \widehat{B_1C_1}\) körívek határolják, ahol \(\displaystyle A_1\) a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) középpontú egységkörök, \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) középpontú egységkörök, \(\displaystyle C_1\) pedig az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) középpontú egységkörök egy-egy közös pontja. Az \(\displaystyle \widehat{AB}\), \(\displaystyle \widehat{AC}\) és \(\displaystyle \widehat{BC}\) körívek hosszának összege (a szögek ívmértékében) \(\displaystyle BC_1A\sphericalangle + AB_1C\sphericalangle + CA_1B\sphericalangle =k\). Hasonlóan az \(\displaystyle \widehat{A_1B_1}\), \(\displaystyle \widehat{A_1C_1}\) és \(\displaystyle \widehat{B_1C_1}\) körívek hosszának összege \(\displaystyle B_1CA_1\sphericalangle + A_1BC_1\sphericalangle + C_1AB_1\sphericalangle :=L\).

Az \(\displaystyle AB_1CA_1BC_1\) (egységnyi oldalú) hatszög szögeinek összege

\(\displaystyle 2\pi = AB_1C\sphericalangle + B_1CA_1\sphericalangle + CA_1B\sphericalangle + A_1BC_1\sphericalangle + BC_1A\sphericalangle + C_1AB_1\sphericalangle = k + L, \)

tehát \(\displaystyle L= 2\pi - k\) a kérdéses kerület.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kitschner Bernadett, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Olosz Adél, Osztényi József, Pituk Gábor, Scheidler Barnabás, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 417 Dávid, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté.
3 pontot kapott:	Győrffi Ádám György, Kocsis Anett.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai