Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5069. feladat (2019. december)

B. 5069. Az \(\displaystyle ABCD\) deltoid szimmetriatengelye \(\displaystyle AC\). Az \(\displaystyle AB\) oldalra \(\displaystyle B\)-ben, és a \(\displaystyle CD\) oldalra \(\displaystyle D\)-ben állított merőlegesek metszéspontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AMD\sphericalangle=BMC\sphericalangle\).

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az \(\displaystyle M\) pont merőleges vetülete az \(\displaystyle AC\) egyenesen \(\displaystyle T\). Mivel \(\displaystyle ABM\measuredangle=MTA\measuredangle=MTC\measuredangle=MDC\measuredangle=90^\circ\), a Thalész-tétel megfordítása szerint az \(\displaystyle A,B,M,T\), illetve a \(\displaystyle C,D,M,T\) pontok egy körön vannak. Emiatt (irányított, modulo \(\displaystyle 180^\circ\) szögekkel számolva) \(\displaystyle BMA\measuredangle=BTA\measuredangle\), illetve \(\displaystyle CMD\measuredangle=CTD\measuredangle\). Mivel \(\displaystyle T\) a deltoid szimmetriatengelyén van, a \(\displaystyle BTA\measuredangle=BTC\measuredangle\) és \(\displaystyle ATD\measuredangle=CTD\measuredangle\) szögek egymás tükörképei. Tehát

\(\displaystyle CMD\measuredangle = CTD\measuredangle = ATD\measuredangle = BTA\measuredangle = BMA\measuredangle. \)\(\displaystyle (*) \)

A \(\displaystyle (*)\) egyenletet egyelőre csak irányított szögekkel tudjuk, tehát \(\displaystyle CMD\measuredangle\) és \(\displaystyle BMA\measuredangle\) vagy azonos irányítású, és akkor egyenlők, vagy pedig ellentétes irányításúak, és akkor az összegük \(\displaystyle 180^\circ\). De vegyük észre, hogy ez a két szög a derékszögű \(\displaystyle CDM\) és \(\displaystyle BMA\) háromszögek hegyesszögei, az összegük biztosan kisebb \(\displaystyle 180^\circ\)-nál. Tehát, \(\displaystyle CMD\measuredangle\) és \(\displaystyle BMA\measuredangle\) csak azonos irányítású, egyenlő nagyságú hegyesszögek lehetnek.

Végül tekintsük azt az \(\displaystyle M\) körüli, \(\displaystyle BMA\measuredangle=CMD\measuredangle\) szögű forgatást, amely az \(\displaystyle MB\) félegyenest az \(\displaystyle MA\) félegyenesbe, az \(\displaystyle MC\) félegyenest pedig az \(\displaystyle MD\) félegyenesbe viszi. Ez a forgatás a \(\displaystyle BMC\measuredangle\) szöget az \(\displaystyle AMD\measuredangle\) szögbe viszi, tehát a két szög egyenlő: \(\displaystyle BMC\measuredangle=AMD\measuredangle\), és éppen ezt kellett igazolnunk.


Statisztika:

A B. 5069. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai