Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5122. feladat (2020. október)

B. 5122. Zicc ErWin a Bergengóc Kosárliga valaha volt legbiztosabb kezű büntetődobója. Bár karrierje során a legelső büntetőjét kihagyta, az összesen \(\displaystyle 222\,222\) büntetődobásából csupán 2020 maradt ki.

A bergengóc statisztikusok szerint egy kosaras egy büntetődobása érdekes, ha a dobást közvetlenül követően teljesül az, hogy a sikeres dobások (az összes dobáshoz mért) százalékos aránya pozitív egész szám. (Például ha valaki az addigi összesen 40 kísérletéből 12-t bedobott, akkor az utolsó dobása érdekes volt, mert \(\displaystyle \frac{12}{40} \cdot 100 = 30 \in \mathbb{N}^+\), viszont az ezt követő 41-edik dobás – akár sikeres, akár nem – semmiféleképpen nem lesz érdekes.)

Legalább hány érdekes büntetője volt Zicc ErWinnek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A válasz 8. Ennek igazolásához megmutatjuk, hogy Zicc ErWinnek legalább 8 érdekes büntetője volt, és mutatunk is olyan dobássorrendet, hogy pontosan 8 érdekes büntető legyen.

Lemma: A feltételek mellett minden \(\displaystyle 1<n\leq 100\) egész számra volt olyan dobása ErWinnek, amikor éppen \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) volt a sikeres dobások aránya.

A lemma bizonyítása: Legyen \(\displaystyle 1<n \leq 100\) tetszőleges. Tekintsük az \(\displaystyle 1 \cdot n; 2 \cdot n ; 3 \cdot n;...; \left[ \dfrac{222222}{n}\right] \cdot n\)-dik dobásokat (,,időpontokat'').

A \(\displaystyle \left[ \dfrac{222222}{n}\right] \cdot n\) dobás után már biztosan nagyobb a sikeres kosarak aránya, mint \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\), különben a kihagyott büntetők száma legalább \(\displaystyle \dfrac{222222-n}{n} \geq \dfrac{222122}{100}>2221>2020\) lenne, ellentmondva a feladat feltételeinek.

Ha az \(\displaystyle n\)-dik dobásig a kihagyott első kosarat kivéve minden büntetőt bedobott ErWin, akkor készen vagyunk; az \(\displaystyle n\)-dik dobás megfelelő.

Ha viszont az első \(\displaystyle n\) dobásából legalább kettőt elhibázott, akkor a megadott időpontok között van olyan, ahol az arány kisebb, mint \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) (jelesül az elején), és van olyan időpont, ahol az arány legalább \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) (jelesül a végén). Azaz van egy olyan utolsó időpont is, mondjuk \(\displaystyle i\cdot n\), ahol a sikeres arány még kisebb, mint \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\).

Ekkor – mivel \(\displaystyle (i+1) \cdot n\) időpontban már legalább \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) a sikeres büntetők aránya – az \(\displaystyle (i \cdot n+1)\)-edik és \(\displaystyle ((i+1) \cdot n)\)-edik dobások közötti mind az \(\displaystyle n\) dobás sikeres kell, hogy legyen; emiatt az \(\displaystyle i \cdot n\) időpontban pontosan 1 sikeres dobás hiányzott az \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\)-es arányhoz, és így az \(\displaystyle (i+1) \cdot n\) időpontban a sikeres büntetők aránya pontosan \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\). Ezzel a lemmát igazoltuk.

Lemmánk alapján volt olyan időpont ErWin karrierje során, amikor a sikeres dobások aránya
\(\displaystyle \boxed{\: \dfrac{1}{2}=50\%; \dfrac{3}{4}=75\%; \dfrac{4}{5}=80\%; \dfrac{9}{10}=90\%; \dfrac{19}{20}=95\%; \dfrac{24}{25}=96\%; \dfrac{49}{50}=98\%; \dfrac{99}{100}=99\% \:}\)

Azaz valóban volt legalább 8 darab érdekes büntetője ErWinnek. (A többi \(\displaystyle \dfrac{n-1}{n}\) tört nem ad százalékban egész értéket; mivel ezekre \(\displaystyle n \nmid 100\).)

Most megmutatjuk, hogy előfordulhatott, hogy nem volt több, mint 8 érdekes büntető. Ehhez az a ,,dobássorrend'' megfelelő, amikor ErWin sikertelen dobásai: az első, és karrierje során az utolsó 2019. (Vagyis a \(\displaystyle 2\)-diktól a \(\displaystyle 222\,222-2019=220\,203\)-dik dobásig mindent bedobott).

Ekkor a első száz dobásából pontosan a \(\displaystyle 2.;4.;5.;10.,...;100.\) az érdekes, innentől viszont az egész karrierje során 99%-nál nagyobb a sikeres dobások aránya, azaz a többi dobás már nem érdekes.

Ezzel a feladatot megoldottuk.


Statisztika:

A B. 5122. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai