Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5154. feladat (2021. február)

B. 5154. Adjuk meg az összes olyan pozitív egészeken értelmezett, pozitív egész értékű \(\displaystyle f\) függvényt, amelyre \(\displaystyle f\big(f(n)\big)=2n\) és \(\displaystyle f(4n-3)=4n-1\) teljesül bármely pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle f\) a páratlan helyeken egyértelműen meghatározott. Ha egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 1, akkor \(\displaystyle 4n-3\) alakban írható és a feltétel alapján \(\displaystyle f(4n-3)=4n-1\). Ha pedig egy pozitív páratlan szám 4-es maradéka 3, akkor \(\displaystyle 4n-1\) alakban írható és \(\displaystyle f(4n-1)=f(f(4n-3))=2(4n-3)\) a megadott feltételeket használva.

Az \(\displaystyle f(f(k))=2k\) összefüggést először \(\displaystyle k=n\)-re, majd \(\displaystyle k=f(n)\)-re alkalmazva kapjuk, hogy

\(\displaystyle f(2n)=f(f(f(n)))=2f(n).\)

Ennek ismételt alkalmazásával kapható, hogy \(\displaystyle f(2^{\alpha}n)=2f(2^{\alpha-1}n)=\dots=2^{\alpha}f(n)\). Mivel \(\displaystyle 2^{\alpha}n\) alakban minden páros szám előállítható páratlan \(\displaystyle n\) mellett (\(\displaystyle \alpha\) éppen a 2 kitevője a szám prímtényezős felbontásában), ezért a függvény a páros helyeken is egyértelműen meghatározott.

Az eddigieket összefoglalva tehát: minden pozitív egész szám (egyértelműen) felírható vagy \(\displaystyle 2^{\alpha}(4n-3)\) vagy \(\displaystyle 2^{\alpha}(4n-1)\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha\) nemnegatív egész szám, \(\displaystyle n\) pedig pozitív egész szám. (\(\displaystyle 2^\alpha\) a szám legnagyobb 2-hatvány osztója, \(\displaystyle 4n-3\) vagy \(\displaystyle 4n-1\) pedig a szám legnagyobb páratlan osztója, vagyis a szám páratlan része.) Ezen alakot használva a függvény a következő alakban írható:

\(\displaystyle \begin{cases} f(2^{\alpha}(4n-3))=2^{\alpha}(4n-1)\\ f(2^{\alpha}(4n-1))=2^{\alpha+1}(4n-3) \end{cases} \)\(\displaystyle {(*)} \)

Meg kell még mutatnunk, hogy ez a függvény megfelelő. Világos, hogy pozitív egész számokhoz rendel pozitív egész számokat.

A \(\displaystyle 4n-3\) szám előállítása a fenti alakban \(\displaystyle 4n-3=2^0(4n-3)\), így \(\displaystyle f(4n-3)=2^0(4n-1)=4n-1\), vagyis ez a feltétel teljesül.

Az \(\displaystyle f(f(n))=2n\) feltétel ellenőrzéséhez írjuk \(\displaystyle n\)-et \(\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-3)\) vagy \(\displaystyle n=2^{\alpha}(4k-1)\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha\) nemnegatív egész, \(\displaystyle k\) pozitív egész. Előbbi esetben

\(\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-3)))=f(2^{\alpha}(4k-1))=2^{\alpha+1}(4k-3)=2n,\)

utóbbi esetben pedig

\(\displaystyle f(f(n))=f(f(2^{\alpha}(4k-1)))=f(2^{\alpha+1}(4k-3))=2^{\alpha+1}(4k-1)=2n,\)

vagyis az előírt feltétel mindenképpen teljesül.

Ezzel megmutattuk, hogy egyetlen megfelelő függvény van, éspedig az, melyet a \(\displaystyle (*)\) képletek adnak meg.


Statisztika:

A B. 5154. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. februári matematika feladatai