A B. 5279. feladat (2022. december)

B. 5279. Egy derékszögű szögtartományba két kört írtunk. Az egyik kör az egyik szögszárat az \(\displaystyle A\) pontban, a másik kör a másik szögszárat a \(\displaystyle B\) pontban érinti. A két kör egymást is érinti a \(\displaystyle C\) pontban. Határozzuk meg az \(\displaystyle ACB \sphericalangle\) nagyságát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a derékszög csúcsa \(\displaystyle D\), a két kör középpontja \(\displaystyle O_1\), illetve \(\displaystyle O_2\). Két kör érintési pontja a centrálisukon helyezkedik el, tehát \(\displaystyle O_1,C\) és \(\displaystyle O_2\) egy egyenesbe esik.

Az \(\displaystyle AO_1C\) háromszög egyenlő szárú, az \(\displaystyle AC\) alapon fekvő szögei \(\displaystyle \alpha\) nagyságúak. Hasonlóan a \(\displaystyle BO_2C\) egyenlő szárú háromszögben a \(\displaystyle BC\) alapon fekvő szögek \(\displaystyle \beta\) nagyságúak.

Az \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szög nagysága \(\displaystyle 180^\circ-\alpha-\beta\). Ennek kiszámításához elegendő az \(\displaystyle \alpha+\beta\) meghatározása.

A \(\displaystyle DAO_1O_2B\) ötszögnek három szöge derékszög, két további szöge az egyenlő szárú háromszögekből \(\displaystyle 180^\circ-2\alpha\), illetve \(\displaystyle 180^\circ-2\beta\).

Az ötszög belső szögeinek összege \(\displaystyle (5-2)\cdot 180^\circ=540^\circ\), tehát

\(\displaystyle 3\cdot 90^\circ+180^\circ-2\alpha+180^\circ-2\beta=540^\circ.\)

Az egyenlet rendezése után:

\(\displaystyle 90^\circ=2(\alpha+\beta),\)

\(\displaystyle \alpha+\beta=45^\circ.\)

A keresett szög ennek megfelelően:

\(\displaystyle ACB\sphericalangle=180^\circ-\alpha-\beta=135^\circ.\)

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	110 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai