A B. 5422. feladat (2024. december)

B. 5422. Két természetes szám egymás rokona, ha legfeljebb egy számjegyük különbözik. (Tehát rokonok például a \(\displaystyle 135\) és a \(\displaystyle 175\), valamint a \(\displaystyle 101\) és az \(\displaystyle 1\) (vagyis a \(\displaystyle 001\)), de a \(\displaystyle 135\) és a \(\displaystyle 513\) nem.) Van-e olyan szám, amelynek minden rokona összetett?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Igen, például az \(\displaystyle n=19!+10\). Ez a szám \(\displaystyle 0\)-ra végződik, ezért minden olyan rokona, mely az utolsó jegyben nem tér el \(\displaystyle n\)-től, \(\displaystyle 10\)-zel osztható lesz. Az utolsó jegy megváltoztatásával a \(\displaystyle 0\)-t legfeljebb \(\displaystyle 9\)-re cserélhetjük, így a kapott szám \(\displaystyle 19!+(10+k)\) lesz valamely \(\displaystyle 0\leq k\leq 9\)-re. Azonban a \(\displaystyle 10,11,\dots,19\) mind osztja \(\displaystyle 19!\)-t, ezért \(\displaystyle 10+k\mid 19!+(10+k)\) mindig igaz lesz. Ekkor ezen számok egyike sem lehet prím, tehát \(\displaystyle n\) minden rokona összetett.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	96 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai