A B. 5496. feladat (2025. december)

B. 5496. Jelöljük \(\displaystyle p(r)\)-rel egy \(\displaystyle r\) pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzatát. Adott \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén határozzuk meg azokat a \(\displaystyle k\) pozitív egész számokat, amelyekre \(\displaystyle p(k^n)\) egy egész szám \(\displaystyle n\)-edik hatványa.

Javasolta: Horváth Áron (Nemesbőd)

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert, hogy \(\displaystyle p(r)=r^{d(r)/2}\), ahol \(\displaystyle d(r)\) az \(\displaystyle r\) szám pozitív osztóinak száma. (Ez egyszerűen következik abból a megfigyelésből, hogy minden osztópárban \(\displaystyle r\) a két osztó szorzata.)

Tehát az a kérdés, hogy \(\displaystyle (k^n)^{d(k^n)/2}=\left[k^{d(k^n)/2}\right]^n\) mely \(\displaystyle k\) értékek esetén lesz egy egész \(\displaystyle n\)-edik hatványa. Vagyis, hogy \(\displaystyle k^{d(k^n)/2}\) mikor lesz egész szám. Ha \(\displaystyle 2\mid d(k^n)\), akkor biztosan egész szám. Ha \(\displaystyle 2\nmid d(k^n)\), akkor pedig pontosan akkor, ha \(\displaystyle k\) négyzetszám. (Ugyanis egy olyan egész szám páratlan kitevős hatványa, ami nem négyzetszám, szintén nem négyzetszám.) Összefoglalva, \(\displaystyle k^{d(k^n)/2}\) pontosan akkor nem egész, ha \(\displaystyle 2\nmid d(k^n)\) és \(\displaystyle k\) nem négyzetszám. Egy szám pozitív osztóinak száma pontosan akkor páratlan, ha négyzetszám, így a kapott feltétel azt jelenti, hogy \(\displaystyle k^n\) négyzetszám, de \(\displaystyle k\) nem négyzetszám. Ez pedig éppen akkor van, ha \(\displaystyle n\) páros (és \(\displaystyle k\) nem négyzetszám).

A feladat kérdésére tehát a válasz:

Ha \(\displaystyle n\) páros, akkor a megfelelő \(\displaystyle k\) pozitív egész számok a négyzetszámok; ha pedig \(\displaystyle n\) páratlan, akkor \(\displaystyle k\) bármelyik pozitív egész szám lehet.

Statisztika:

A B. 5496. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai