 |
A B. 5497. feladat (2025. december) |
B. 5497. Adott egy \(\displaystyle AB\) végpontú \(\displaystyle k\) körív, a felezőpontja \(\displaystyle F\). Egy kör a \(\displaystyle P\) pontban belülről érinti \(\displaystyle k\)-t, és a \(\displaystyle Q\) pontban érinti az \(\displaystyle AB\) szakaszt. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle APQ\) és \(\displaystyle BPQ\) körök sugarainak összege egyenlő az \(\displaystyle AF\) szakasz hosszával.
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az \(\displaystyle ABF\) kör \(\displaystyle F\)-fel átellenes pontja legyen \(\displaystyle F'\), az \(\displaystyle AQP\), ill. \(\displaystyle BPQ\) körök középpontjai \(\displaystyle K_1\), ill. \(\displaystyle K_2\).
Szimmetria miatt világos, hogy az \(\displaystyle ABFF'\) körhöz \(\displaystyle F'\)-ben húzott érintő párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel. Ebből következik, hogy ha \(\displaystyle P\)-ből a \(\displaystyle k\)-t és \(\displaystyle AB\)-t érintő kört az \(\displaystyle AF'BF\) körbe nagyítjuk, akkor \(\displaystyle Q\) képe szükségképpen \(\displaystyle F'\) kell legyen, azaz \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), és \(\displaystyle F'\) egy egyenesen van.
Középponti és kerületi szögekből
\(\displaystyle \mathbf{AK_1Q\sphericalangle} =2APQ\sphericalangle =2APF'\sphericalangle =2AFF'\sphericalangle =\mathbf{AFB\sphericalangle} =2F'FB\sphericalangle =2F'PB\sphericalangle =2QPB\sphericalangle =\mathbf{QK_2B\sphericalangle}, \)
így az \(\displaystyle AK_1Q\), \(\displaystyle AFB\) és \(\displaystyle QK_2B\) egyenlő szárú háromszögek szárszögei egyenlőek, ezért a háromszögek hasonlók. Emiatt \(\displaystyle A,K_1,F\), illetve \(\displaystyle B,K_2,F\) ponthármasok kollineárisak, további szemköztes szögei egyenlősége miatt az \(\displaystyle FK_1QK_2\) négyszög paralelogramma. Végül
\(\displaystyle AK_1+QK_2 = AK_1+K_1F = AF, \)
ami éppen a bizonyítandó állítás.
Statisztika:
A B. 5497. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai