A B. 5499. feladat (2025. december)

B. 5499. Egy szabályos 45-szög minden csúcsát kiszíneztük a piros, sárga és zöld színek valamelyikével; mindegyik színnel 15 csúcsot. Egy háromszög piros (sárga, zöld), ha mindhárom csúcsa piros (sárga, zöld). Bizonyítsuk be, hogy van három egybevágó háromszög, amelyek közül az egyik piros, a másik sárga, a harmadik zöld.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a már kiszínezett 45-szög csúcsait \(\displaystyle X_1, X_2, X_3, ..., X_{45}\)-tel. A kiszínezett 45-szögről készítsünk egy másolatot, ennek csúcsait jelölje \(\displaystyle X'_1, X'_2, X'_3, ..., X'_{45}\), méghozzá úgy, hogy \(\displaystyle X_i\) és \(\displaystyle X'_i\) színe minden \(\displaystyle 1\leq i \leq 45\) esetén ugyanaz. Ezen a másolaton jelöljük meg a 15 piros csúcsot, majd a másolatot helyezzük úgy az eredetire, hogy a másolat \(\displaystyle X'_i\) csúcsa pontosan az eredeti 45-szög \(\displaystyle X_i\) csúcsát fedje minden \(\displaystyle 1\leq i \leq 45\) esetén.

A másolatot a két 45-szög közös középpontja körül \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}{45} = 8^{\circ}\)-os szöggel elforgatjuk (miközben az eredeti példányt helyben hagyjuk), és megszámoljuk, hogy másolat 15 piros csúcsa ebben az új pozícióban az eredeti 45-szög hány sárga csúcsát fedi. Az ilyen piros-sárga fedések számát nevezzük az adott forgatáshoz tartozó piros-sárga fedési számnak.

Ezt a \(\displaystyle 8^{\circ}\)-os forgatást még 44-szer elvégezzük (amíg ,,körbe nem érünk''), és minden esetben kiszámoljuk az adott forgatáshoz tartozó piros-sárga fedési számot. Mivel összesen 45 különböző forgatási pozíció van, és a forgatások során a 15 piros csúcs mindegyike pontosan egyszer fedi a 15 sárga csúcs mindegyikét, ezért összesen \(\displaystyle 15 \cdot 15 = 225\) piros-sárga fedés van, azaz a 45 darab forgatáshoz tartozó piros-sárga fedési számok összege 225, ami azt jelenti, hogy az átlagos piros-sárga fedési szám \(\displaystyle \dfrac{225}{45}=5\).

Viszont a másolatnak van olyan pozíciója (a 45-dik forgatás után, ami a kezdő pozícióval azonos), amikor minden piros csúcs alatt piros csúcs van, ekkor a piros-sárga fedési szám 0. Ezért van olyan forgatás is, amikor a piros-sárga fedési szám nagyobb az átlagnál, azaz legalább 6. Jelölje az egyik ilyen (legalább 6 piros-sárga fedési számú) forgatás szögét \(\displaystyle \alpha\), a hat piros csúcsot \(\displaystyle P_1, P_2,...,P_6\), míg az ezek \(\displaystyle \alpha\) szöggel elforgatottjaként kapott hat sárga csúcsot \(\displaystyle S_1,S_2,...,S_6\) (amennyiben a piros-sárga fedési szám nagyobb, mint 6 válasszunk a csúcsok közül 6 megfelelő piros, illetve sárga csúcsot).

Most készítsük el a 45-szögnek egy újabb példányát, azon jelöljük meg az előbb talált 6 sárga csúcsot (jelölje ezeket a csúcsokat \(\displaystyle S'_1,S'_2,...,S'_6\)), és a másolatot helyezzük megint úgy az eredetire, hogy a másolat \(\displaystyle S'_i\) csúcsa pontosan az eredeti 45-szög \(\displaystyle S_i\) csúcsát fedje minden \(\displaystyle 1\leq i \leq 6\) esetén. Ezt az újabb másolatot megint csak forgassuk körbe \(\displaystyle 8^{\circ}\)-onként az eredeti sokszögön. A 45 darab forgatás során a 6 kiválasztott sárga csúcs mindegyike sorra lefedi a 15 zöld csúcsot, így összesen \(\displaystyle 6 \cdot 15 = 90\) ,,speciális'' sárga-zöld fedés (most a sárga-zöld fedéseknél csak a hat megjelölt sárga csúcsot számoljuk) van, ami azt jelenti, hogy átlagosan egy forgatásnál \(\displaystyle \dfrac{90}{45}=2\) a speciális sárga-zöld fedési szám. A másolatnak megint csak van olyan pozíciója (megint a 45-dik forgatás után, ami a kezdő pozícióval azonos), amikor minden sárga csúcs alatt sárga csúcs van, ekkor a sárga-zöld fedési szám 0. Ezért van olyan forgatás, amikor a speciális sárga-zöld fedési szám nagyobb az átlagnál, azaz legalább 3. Legyen az egyik ilyen forgatás szöge \(\displaystyle \beta\).

Az előző rész során azt kaptuk, hogy a korábban megtalált \(\displaystyle S_1,S_2,...,S_6\) csúcsokat a 45-szög középpontja körül \(\displaystyle \beta\) szöggel elforgatva a képpontok közül legalább három zöld lesz. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle S_1, S_2\) és \(\displaystyle S_3\) azok a sárga csúcsok (vagy ezek közül három olyan, ha több, mint három megfelelő \(\displaystyle S_i\) pont van), amelyek \(\displaystyle \beta\) szöggel elforgatott képe zöld. A zöld képpontokat jelölje \(\displaystyle Z_1, Z_2\) és \(\displaystyle Z_3\).

Továbbá az első rész során bizonyítottak szerint az \(\displaystyle S_1, S_2\) és \(\displaystyle S_3\) csúcsokat a 45-szög középpontja körül \(\displaystyle - \alpha\) szöggel elforgatva a piros \(\displaystyle P_1, P_2\) és \(\displaystyle P_3\) csúcsokat kapjuk.

De akkor a piros \(\displaystyle P_1P_2P_3\), a sárga \(\displaystyle S_1S_2S_3\) és a zöld \(\displaystyle Z_1Z_2Z_3\) háromszögek a 45-szög középpontja körül a megfelelő szöggel egymásba forgathatóak, azaz valóban van három olyan egybevágó háromszög, amelyek közül az egyik piros, a másik sárga, a harmadik pedig zöld.

Statisztika:

A B. 5499. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai