 |
A B. 5500. feladat (2025. december) |
B. 5500. Határozzuk meg \(\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|+|e|\) legkisebb lehetséges értékét, ha az \(\displaystyle x^{6}+ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+1=0\) egyenletnek van valós gyöke.
Javasolta: Somogyi Ákos (London)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|+|e|\) összeg legkisebb lehetséges értéke \(\displaystyle 6 \cdot 5^{-\frac56}\). A tömörség kedvéért ezt az értéket jelöljük \(\displaystyle \lambda\)-val a megoldás hátralevő részében.
Lemma: Tetszőleges \(\displaystyle t > 0\) esetén \(\displaystyle t^6 + 1 \geq \lambda t\).
A lemma bizonyítása: A számtani és mértani közép közötti összefüggésből:
\(\displaystyle \frac{t^6 + 1}{6} = \frac{t^6 + \frac15 + \frac15 + \frac15 + \frac15 + \frac15}{6} \geq \sqrt[6]{t^6 \frac1{5^5}} = 5^{-\frac56} t = \frac{\lambda t}{6}. \)
A lemma segítségével indirekt bizonyítást adunk.
Tegyük fel, hogy valamilyen \(\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|+|e| < \lambda\) esetén a \(\displaystyle p(x) = x^{6}+ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+1\) polinomnak van egy \(\displaystyle z\) valós gyöke. Feltehetjük, hogy ekkor
- \(\displaystyle |z| \leq 1\), különben áttérünk a \(\displaystyle x^{6}+ex^{5}+dx^{4}+cx^{3}+bx^{2}+ax+1\) polinomra,
amelynek a gyökei éppen az \(\displaystyle x^{6}+ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+1\) polinom gyökeinek reciprokai. - \(\displaystyle z > 0\), különben áttérünk a \(\displaystyle x^{6}-ax^{5}+bx^{4}-cx^{3}+dx^{2}-ex+1\) polinomra,
amelynek a gyökei éppen az \(\displaystyle x^{6}+ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+1\) polinom gyökeinek ellentettjei.
(Az esetleges áttérések során \(\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|+|e|\) értéke nem változik.)
Tehát valamilyen \(\displaystyle 0 < z \leq 1\) esetén
\(\displaystyle z^6 + a z^5 + b z^4 + c z^3 + d z^2 + ez + 1 = 0, \)
azaz
\(\displaystyle 0 < z^6 + 1 = -(a z^5 + b z^4 + c z^3 + d z^2 + ez) = |a z^5 + b z^4 + c z^3 + d z^2 + ez|. \)
De ekkor (az utolsó egyenlőtlenségnél a lemmát használva)
$$\begin{eqnarray*} z^6 + 1 &=& |a z^5 + b z^4 + c z^3 + d z^2 + ez| \leq \\ &\leq& |a| z^5 + |b| z^4 + |c| z^3 + |d| z^2 + |e| z \leq (|a| + |b| + |c| + |d| + |e|) \cdot z < \lambda z < z^6+1. \end{eqnarray*}$$Ellentmondáshoz érkeztünk, tehát nem lehet valós gyöke a vizsgált \(\displaystyle p\) polinomunknak.
Másrészt, ha \(\displaystyle a=b=c=d=0\) és \(\displaystyle e=-\lambda\), akkor persze \(\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|+|e| = \lambda\), és az
\(\displaystyle x^6 - \lambda x + 1 = x^6 -6 \cdot5^{-\frac56}x + 1 \)
polinomnak \(\displaystyle x_0 = 5^{-\frac16}\) valóban egy valós gyöke, hiszen:
\(\displaystyle \left( 5^{-\frac16} \right) ^6 - 6 \cdot 5^{-\frac56} \cdot 5^{-\frac16} + 1 = \frac15 - \frac65 + 1 = 0. \)
Statisztika:
A B. 5500. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai