A C. 1017. feladat (2010. január) |
C. 1017. Az ábrán látható két kockát egy vízszintes asztalon helyeztük el. A kockák egy-egy élének összege 2 cm, a kockák térfogatösszege pedig 5,375 cm3. Mekkora a fekete téglalap területe?
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:
\(\displaystyle a+b=2\)
\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)
Mivel \(\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\), ezért \(\displaystyle ab=\frac{2^3 - 5,357}{3\cdot 2}=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).
2. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:
\(\displaystyle a+b=2\)
\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)
Az elsőből \(\displaystyle a=2-b\), amit a második egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle 8-12b+6b^2-b^3 + b^3=5,357\)-t kapunk. \(\displaystyle 6\)-tal való osztás után megoldandó a \(\displaystyle b^2-2b+0,4375=0\) egyenlet, melynek két (diszkrimináns pozitív) megoldása éppen a két kocka élhosszát adja meg. Tudjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggésekből, hogy (főegyüttható \(\displaystyle 1\) lévén) a gyökök szorzata pont a konstans tag. Ezért \(\displaystyle ab=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).
Statisztika:
332 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 296 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2010. januári matematika feladatai