Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1017. feladat (2010. január)

C. 1017. Az ábrán látható két kockát egy vízszintes asztalon helyeztük el. A kockák egy-egy élének összege 2 cm, a kockák térfogatösszege pedig 5,375 cm3. Mekkora a fekete téglalap területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:

\(\displaystyle a+b=2\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)

Mivel \(\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\), ezért \(\displaystyle ab=\frac{2^3 - 5,357}{3\cdot 2}=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).

2. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:

\(\displaystyle a+b=2\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)

Az elsőből \(\displaystyle a=2-b\), amit a második egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle 8-12b+6b^2-b^3 + b^3=5,357\)-t kapunk. \(\displaystyle 6\)-tal való osztás után megoldandó a \(\displaystyle b^2-2b+0,4375=0\) egyenlet, melynek két (diszkrimináns pozitív) megoldása éppen a két kocka élhosszát adja meg. Tudjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggésekből, hogy (főegyüttható \(\displaystyle 1\) lévén) a gyökök szorzata pont a konstans tag. Ezért \(\displaystyle ab=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).


Statisztika:

332 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:296 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai