A C. 1019. feladat (2010. január)

C. 1019. Vízszintes síkon fekvő hengert úgy rögzítünk, hogy palástjához kétoldalt egy-egy hasábot illesztünk. (A hasábok egyik felső élükkel a henger palástjával érintkeznek.) Mekkora a henger sugara, ha a hasábok magassága 9, illetve 2 cm, távolságuk pedig 23 cm?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra a feladatbeli testek tengelyre merőleges vetületét mutatja. A megtámasztás pontjába mutató sugár - mindkét esetben - egy derékszögű háromszög átfogója, egyik befogója pedig a sík és henger érintkezési pontjába mutató sugár része. A másik befogók párhuzamosak a síkkal, hosszuk összege pedig a két hasáb távolságával egyezik meg. Ezen befogók, a hasábok élei és a sík vetülete ill. a síkra merőleges sugár egy \(\displaystyle 9\) és \(\displaystyle x\), illetve egy \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 23-x\) oldalú téglalapokat határounak meg. Ezért a háromszögek másik befogói \(\displaystyle r-9\) és \(\displaystyle r-2\) hosszúak. Mindkettőre felírva Pithagorasz tételét

\(\displaystyle x^2 + (r-9)^2 =r^2,\)

\(\displaystyle (23-x)^2 + (r-2)^2 = r^2.\)

Mindkét egyenletből \(\displaystyle x\)-t kifejezve a \(\displaystyle 23-\sqrt{4r-4}=\sqrt{18r-81}\) egyenlet megoldandó. (A feladat szerint \(\displaystyle x<23\) és \(\displaystyle r>9\).) Kétszer négyzetre emelünk, mire rendezés után kapjuk a \(\displaystyle 49r^2 -6358r+93925=0\) másodfokú egyenletet. Ennek első megoldásához (kb. 112,755) \(\displaystyle x\approx 44,14>23\) nem jó megoldást ad. A második gyök \(\displaystyle r=17\), amihez \(\displaystyle x=15\) tartozik megfelel a feladat feltételeinek. A henger sugara 17 cm.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	122 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai