 |
A C. 1113. feladat (2012. február) |
C. 1113. Az ABCD téglalap belsejében kijelöltük azt a P pontot, melyre a ,
,
és
tangensei rendre 1, 2,
és
. Mekkora az átlók szögének tangense?
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit: a \(\displaystyle P\) pont merőleges vetülete az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), illetve \(\displaystyle DA\) oldalakra legyen rendre \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Mivel \(\displaystyle ABCD\) téglalap, ezért \(\displaystyle PFCG\), \(\displaystyle HPGD\), \(\displaystyle AEPH\) és \(\displaystyle EBFP\) is téglalapok (három szögük derékszög), és így \(\displaystyle EB=PF=GC\), \(\displaystyle AE=HP=DG\), \(\displaystyle AH=EP=BF\) és \(\displaystyle HD=PG=FC\).
Jelölje az \(\displaystyle AE\) szakasz hosszát \(\displaystyle x\), ekkor \(\displaystyle HP=DG=x\). Mivel \(\displaystyle 1=\tg PAB\sphericalangle=\tg PAE\sphericalangle=\frac{PE}{AE}\), ezért \(\displaystyle PE=x\), amiből \(\displaystyle AH=BF=x\). Mivel \(\displaystyle 2=\tg PBC\sphericalangle=\tg PBF\sphericalangle=\frac{PF}{BF}\), ezért \(\displaystyle PF=2x\), és így \(\displaystyle EB=GC=2x\). Hasonlóan, az \(\displaystyle \frac13=\tg PCD\sphericalangle=\tg PCG\sphericalangle=\frac{PG}{GC}\) egyenlőségből \(\displaystyle PG=\frac23x\) és így \(\displaystyle HD=FC=\frac23x\) következik. Ekkor pedig \(\displaystyle \tg PDA\sphericalangle=\tg PDH\sphericalangle=\frac{PH}{HD}=\frac{x}{\frac23x}=\frac32\) teljesül.
A téglalap oldalainak hossza: \(\displaystyle AB=x+2x=3x\) és \(\displaystyle BC=x+\frac23x=\frac53x\).
Ezek alapján az átlók szögének tangensét már könnyen kiszámíthatjuk. Az átlók metszéspontját jelölje \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle M\) merőleges vetületét a \(\displaystyle BC\) oldalra \(\displaystyle N\), az \(\displaystyle NMC\) szöget pedig \(\displaystyle \varphi\). A szimmetria miatt ekkor az átlók által bezárt szög \(\displaystyle 2\varphi\).
Tudjuk, hogy \(\displaystyle \tg\varphi=\tg NMC\sphericalangle=\frac{CN}{MN}=\frac{\frac12\cdot\frac53x}{\frac12\cdot3x}=\frac59\). A szögek kétszeresének tangensére vonatkozó összefüggés felhasználásával:
\(\displaystyle \tg BMC\sphericalangle=\tg2\varphi=\frac{2\tg\varphi}{1-\tg^2\varphi}=\frac{2\cdot\frac59}{1-\left(\frac59\right)^2}=\frac{\frac{10}{9}}{1-\frac{25}{81}}= \frac{\frac{10}{9}}{\frac{81-25}{81}}=\frac{\frac{90}{81}}{\frac{56}{81}}=\frac{45}{28}.\)
Statisztika:
190 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 104 versenyző. 4 pontot kapott: 46 versenyző. 3 pontot kapott: 23 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2012. februári matematika feladatai