Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1182. feladat (2013. október)

C. 1182. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\frac{x^2 +2xy +3y^2}{3x^2 + 2xy +y^2} + \frac{3x^2 + 2xy +y^2}{x^2 +2xy +3y^2} =2;

3x-2y=1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle a=\frac{x^2+2xy+3y^2}{3x^2+2xy+y^2}\). Az első egyenlet ekkor \(\displaystyle a+\frac 1a=2\), amiből \(\displaystyle a^2+1=2a\), vagyis \(\displaystyle a^2-2a+1=0\). Ez utóbbiból \(\displaystyle (a-1)^2=0\). Ebből pedig \(\displaystyle a=1\) következik.

Tehát \(\displaystyle x^2+2xy+3y^2=3x^2+2xy+y^2\), amiből \(\displaystyle 2y^2=2x^2\), vagyis \(\displaystyle y=\pm x\) következik. Ezt írjuk be a második egyenletbe:

I. eset: \(\displaystyle y=x\). Ekkor \(\displaystyle 3x-2x=1\), vagyis \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=1\).

II. eset: \(\displaystyle y=-x\). Ekkor \(\displaystyle 3x-2\cdot(-x)=1\), amiből \(\displaystyle x=1/5\), \(\displaystyle y=-1/5\).

Mindkét megoldás kielégíti az eredeti két egyenletet.


Statisztika:

199 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:120 versenyző.
4 pontot kapott:43 versenyző.
3 pontot kapott:15 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:13 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai