A C. 1182. feladat (2013. október) |
C. 1182. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
3x-2y=1.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle a=\frac{x^2+2xy+3y^2}{3x^2+2xy+y^2}\). Az első egyenlet ekkor \(\displaystyle a+\frac 1a=2\), amiből \(\displaystyle a^2+1=2a\), vagyis \(\displaystyle a^2-2a+1=0\). Ez utóbbiból \(\displaystyle (a-1)^2=0\). Ebből pedig \(\displaystyle a=1\) következik.
Tehát \(\displaystyle x^2+2xy+3y^2=3x^2+2xy+y^2\), amiből \(\displaystyle 2y^2=2x^2\), vagyis \(\displaystyle y=\pm x\) következik. Ezt írjuk be a második egyenletbe:
I. eset: \(\displaystyle y=x\). Ekkor \(\displaystyle 3x-2x=1\), vagyis \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=1\).
II. eset: \(\displaystyle y=-x\). Ekkor \(\displaystyle 3x-2\cdot(-x)=1\), amiből \(\displaystyle x=1/5\), \(\displaystyle y=-1/5\).
Mindkét megoldás kielégíti az eredeti két egyenletet.
Statisztika:
199 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 120 versenyző. 4 pontot kapott: 43 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 13 dolgozat.
A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai