 |
A C. 1220. feladat (2014. március) |
C. 1220. Egy szabályos háromszögrácson az ábrán látható vonal rajzolását a megkezdett módon folytathatjuk. Minden új szakasz egy egységgel hosszabb, mint az előző volt.
A rajzolást egy olyan szakasz végpontjánál szeretnénk befejezni, amely az \(\displaystyle A\) kezdőponttól egész egységnyire van. Minimum hány egység hosszúságú vonalat kell rajzolnunk?
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle A\)-ból induló, \(\displaystyle E\)-t tartalmazó félegyenesen végtelen sok szakasz vége található, de ezek az \(\displaystyle A\)-tól \(\displaystyle \sqrt3\) egész számú többszörösére vannak. Vagyis errefelé nincs jó befejező pont. Hasonlóan az \(\displaystyle A\)-ból induló, \(\displaystyle D\)-t tartalmazó félegyenesen végtelen sok szakasz vége található, de ezek az \(\displaystyle A\)-tól szintén \(\displaystyle \sqrt3\) egész számú többszörösére vannak. Vagyis errefelé sincs jó befejező pont.
Még a \(\displaystyle B\)-ből induló, \(\displaystyle C\)-t tartalmazó félegyenesen található végpontokat kell megvizsgálnunk. Sorszámozzuk a \(\displaystyle C\) pontokat. Határozzuk meg az \(\displaystyle AC_n\) szakasz hosszát. Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle ABC_n\) háromszögre:
\(\displaystyle AC_n=\sqrt{1+(n\sqrt3)^2-2\cdot n\sqrt3\cdot \cos150^{\circ}},\)
\(\displaystyle AC_n=\sqrt{3n^2+3n+1}.\)
Csak a legkisebb pozitív egész \(\displaystyle n\)-t keressük, amelyre \(\displaystyle 3n^2+3n+1\) négyzetszám, így a \(\displaystyle 3n^2+3n+1=m^2\) egyenlet megoldása előtt tegyünk egy kísérletet, és nézzük meg az \(\displaystyle n=1,2,3,4,...\) értékeket, hátha megkapjuk a várva várt értéket. És valóban, \(\displaystyle n=7\) esetén: \(\displaystyle 3\cdot7^2+3\cdot7+1=13^2\). Vagyis a \(\displaystyle C_7\)-nél kell megállnunk, és eddig 22 szakaszt rajzolunk le. Ezek hosszának összege: \(\displaystyle 1+2+...+22=\frac{22\cdot23}{2}=253\).
Statisztika:
A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai