 |
A C. 1394. feladat (2017. január) |
C. 1394. Hány olyan pozitív egész szám van, melynek prímtényezős felbontásában csak a két legkisebb prímszám szerepel, és a szám harmadik hatványának nyolcszor annyi pozitív osztója van, mint a számnak?
Matlap (Kolozsvár)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A keresett számok \(\displaystyle 2^p\cdot3^q\) alakúak, ahol \(\displaystyle p,\,q\in \Bbb N^+\).
Az ilyen alakú számok pozitív osztóinak száma: \(\displaystyle (p+1)(q+1)\).
A számok harmadik hatványa \(\displaystyle 2^3p\cdot 3^3q\) alakú.
Ezek pozitív osztóinak száma: \(\displaystyle (3p+1)(3q+1)\).
A feltétel alapján \(\displaystyle 8(p+1)(q+1)=(3p+1)(3q+1)\).
Az egyenletet rendezve:
\(\displaystyle 8pq+8p+8q+8=9pq+3p+3q+1,\)
\(\displaystyle 0=pq-5p-5q-7=(p-5)(q-5)-32.\)
Tehát a \(\displaystyle (p-5)(q-5)=32\) egyenletet kaptuk.
32 lehetséges osztóit figyelembe véve a következő megoldások adódnak:
\(\displaystyle (p-5,q-5)\in\{(1,32),(2,16),(4,8),(8,4),(16,2),(32,1)\},\)
amiből
\(\displaystyle (p,q)\in\{(6,37),(7,21),(9,13),(13,9),(21,7),(37,6)\}.\)
Tehát 6 ilyen szám van.
Statisztika:
194 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 149 versenyző. 4 pontot kapott: 6 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 20 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2017. januári matematika feladatai